ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Гипотенуза напротив прямого угла
Квадраты, построенные на катетах, вместе имеют ту же площадь, что квадрат на гипотенузе. Например, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Длины 3 и 4 складывать вместо квадратов нельзя.
Перед вычислением найди прямой угол и назови противоположную сторону. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Ищем гипотенузу | Сумма квадратов катетов | c = √(a² + b²) |
| Ищем катет | Разность квадратов | a = √(c² − b²) |
| Проверяем прямой угол | c — наибольшая сторона | a² + b² = c² |
Подумай и объясни
При катетах 6 и 8 чему равна гипотенуза?
Сверить рассуждение
10. Для катетов a, b и гипотенузы c верно c² = a² + b².
Главная мысль
Для катетов a, b и гипотенузы c верно c² = a² + b².
Нужную сторону выражаем из формулы
Если c = 13, b = 5, второй катет √(169 − 25) = 12. Вычитание возникает потому, что один квадрат переносится в другую часть равенства.
Подкоренная разность должна быть положительной для невырожденного треугольника. Если данная «гипотенуза» меньше катета, условие невозможно или стороны перепутаны.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Гипотенуза равна √(a² + b²), катет — √(c² − b²).
Обратная теорема распознаёт прямой угол
Для сторон 5, 12, 13 проверяем 169 = 25 + 144. Значит угол напротив стороны 13 прямой. Для 5, 6, 7 равенство не выполняется, применять формулу прямоугольного треугольника нельзя.
Сначала выбери наибольшую сторону. Проверка случайной пары не имеет смысла: гипотенуза, если она есть, всегда наибольшая.
Подумай и объясни
Можно ли применять Пифагора к любому треугольнику?
Сверить рассуждение
Нет. Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Вспомогательный перпендикуляр открывает формулу
Диагональ прямоугольника с размерами 5 и 12 равна 13. У квадрата со стороной a диагональ a√2. У ромба сторона находится по половинам диагоналей.
Каждый раз рисуй маленький прямоугольный треугольник отдельно и подпиши его стороны. Это помогает не перепутать целую диагональ ромба с её половиной.
Главная мысль
Высота часто выделяет прямоугольный треугольник внутри другой фигуры.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для катетов a, b и гипотенузы c верно c² = a² + b².
Гипотенуза равна √(a² + b²), катет — √(c² − b²).
Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Высота часто выделяет прямоугольный треугольник внутри другой фигуры.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.