ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Общая высота превращает площади в отношения оснований
Пусть D на BC. У ABD и ACD общая высота из A, поэтому S(ABD)/S(ACD) = BD/DC. Если BD:DC = 2:3, площадь всего ABC состоит из пяти долей. При общей площади 30 получаем 12 и 18.
Не нужно знать высоту: она сокращается в отношении (BD · h/2)/(DC · h/2). Однако основания нужно брать на одной прямой, чтобы высота действительно была общей. Равенство двух произвольных боковых сторон не заменяет это условие.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Общая высота треугольников | Сравни основания | S₁/S₂ = a₁/a₂ |
| Разбиение диагоналями | Противоположные части | S₁S₃ = S₂S₄ |
| Разбиение отрезками между серединами | Противоположные части | S₁ + S₃ = S₂ + S₄ |
Подумай и объясни
При общей высоте основания относятся 2:3. Как относятся площади?
Сверить рассуждение
2:3. При одинаковой высоте площади треугольников относятся как их основания.
Главная мысль
При одинаковой высоте площади треугольников относятся как их основания.
Вершина движется — площадь остаётся
В параллелограмме ABCD возьмём M на BC и соединим её с A и D. У треугольника AMD и параллелограмма общее основание AD и одинаковая высота. Значит S(AMD) = S(ABCD)/2. Если площадь треугольника 18 см², площадь параллелограмма 36 см².
Передвинь M по BC: форма треугольника меняется, а основание и высота остаются. Это второй способ увидеть результат. Третий способ — провести через M параллель к AB: две малые диагонали делят два полученных параллелограмма пополам.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При фиксированном основании на одной из параллельных прямых перемещение вершины по другой сохраняет площадь.
Диагонали: равны произведения противоположных площадей
Пусть диагонали AC и BD пересеклись в O. Обозначим по порядку площади ABO, BCO, CDO и DAO. У первой и второй общая высота из B: S₁/S₂ = AO/OC. У четвёртой и третьей общая высота из D: S₄/S₃ = AO/OC. Приравняв дроби, получаем S₁S₃ = S₂S₄.
Если S₁ = 6, S₂ = 8, S₃ = 12, то S₄ = 6 · 128 = 9. Четырёхугольник не обязан быть параллелограммом. Важно, что это разбиение диагоналями, а площади пронумерованы по кругу.
Подумай и объясни
При S₁ = 6, S₂ = 8, S₃ = 12 чему равно S₄?
Сверить рассуждение
9. Если диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на площади S₁, S₂, S₃, S₄ по кругу, то S₁S₃ = S₂S₄.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на площади S₁, S₂, S₃, S₄ по кругу, то S₁S₃ = S₂S₄.
Отрезки между серединами: равны суммы
Проведи из точки пересечения этих отрезков лучи к четырём вершинам. Получатся четыре пары равновеликих треугольников: в каждой паре общий перпендикуляр и равные половины стороны. Обозначим площади в парах x, y, z, t. Каждая сумма противоположных четырёхугольников содержит по одному x, y, z и t.
Поэтому S₁ + S₃ = S₂ + S₄. Например, при S₁ = 14, S₂ = 9, S₃ = 8 получаем S₄ = 14 + 8 − 9 = 13. Здесь складывают площади; правило произведений из предыдущего пункта относится к другому разбиению.
Главная мысль
Если середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника соединены двумя отрезками, суммы площадей противоположных частей равны.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При одинаковой высоте площади треугольников относятся как их основания.
При фиксированном основании на одной из параллельных прямых перемещение вершины по другой сохраняет площадь.
Если диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на площади S₁, S₂, S₃, S₄ по кругу, то S₁S₃ = S₂S₄.
Если середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника соединены двумя отрезками, суммы площадей противоположных частей равны.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.