ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Отношение сравнивает длины в одних единицах
Длины 3 и 5 относятся так же, как 6 и 10: обе пары дают 35. Но 3 см и 5 мм сначала нужно перевести в одну единицу, иначе отношение будет неверным.
В пропорции a/b = c/d при ненулевых знаменателях можно перемножить крест-накрест: ad = bc. Это алгебраический способ найти неизвестную длину.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| MN ∥ BC | Часть к целому | AM/AB = AN/AC |
| Те же точки | Часть к остатку | AM/MB = AN/NC |
| AM:MB = p:q | Всего p + q долей | AM/AB = p/(p + q) |
Подумай и объясни
Чему равно x при x/6 = 23?
Сверить рассуждение
4. Отрезки пропорциональны, если отношения соответствующих длин равны.
Главная мысль
Отрезки пропорциональны, если отношения соответствующих длин равны.
Параллели сохраняют пропорции
Пусть M на AB, N на AC и MN ∥ BC. Тогда AM/AB = AN/AC. Если AM составляет треть всей AB, то AN составляет треть AC.
Можно сравнивать и части между параллелями: AM/MB = AN/NC. Обе формы верны, но в одной пропорции нельзя с одной стороны использовать целую длину, а с другой — остаток.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Разбиваем заданное отношение на доли
При AM : MB = 2 : 3 и AB = 20 получаем пять долей по 4. Значит AM = 8, MB = 12. Отношение AM ко всей стороне равно 25, а не 23.
Этот переход часто нужен в треугольнике с параллельным отрезком. Сначала переведи «часть к части» в «часть к целому», затем используй нужную пропорцию.
Подумай и объясни
Какая доля целого соответствует отношению частей 3:2?
Сверить рассуждение
35. Если AM : MB = p : q, то AM/AB = p/(p + q).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если AM : MB = p : q, то AM/AB = p/(p + q).
Обратная проверка устанавливает параллельность
В треугольнике при AM/AB = AN/AC и внутренних точках M, N получаем MN ∥ BC. Расположение на соответствующих сторонах входит в условие.
Не сравнивай произвольные четыре отрезка на разных фигурах. Выпиши соответствия и убедись, что обе доли отсчитываются от одной вершины треугольника.
Главная мысль
Если точки на двух сторонах отсекают равные доли от общей вершины, соединяющий отрезок параллелен третьей стороне.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Отрезки пропорциональны, если отношения соответствующих длин равны.
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Если AM : MB = p : q, то AM/AB = p/(p + q).
Если точки на двух сторонах отсекают равные доли от общей вершины, соединяющий отрезок параллелен третьей стороне.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.