ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Углы равны, стороны пропорциональны
Если ABC подобен DEF, то A соответствует D, B — E, C — F. Отношения AB/DE, BC/EF, AC/DF равны. Нельзя сопоставлять стороны по тому, где они нарисованы: фигуру можно повернуть.
При увеличении сторон 3, 4, 5 вдвое получаем 6, 8, 10. Углы сохраняются, но треугольники не равны по размерам. Равенство — случай подобия с коэффициентом 1.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| ABC ∼ DEF | Вершины по порядку | A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F |
| Соответствующие стороны | Один коэффициент | AB/DE = BC/EF = AC/DF |
| Периметры и высоты | Линейные размеры | То же отношение k |
Подумай и объясни
Какая сторона соответствует BC в ABC ∼ DEF?
Сверить рассуждение
EF. Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и один общий коэффициент отношений сторон.
Главная мысль
Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и один общий коэффициент отношений сторон.
Коэффициент зависит от направления сравнения
Пусть сторона первого треугольника 6, соответствующая сторона второго 9. Коэффициент первого ко второму 23, второго к первому 32. Обе записи верны при правильном направлении.
Перед расчётом словами назови: «новая длина к исходной». Тогда при k = 2 все новые соответствующие длины удваиваются, а не уменьшаются вдвое.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если k = AB/DE, то обратное отношение DE/AB равно 1/k.
Все линейные размеры меняются в k раз
Если стороны увеличены вдвое, периметр тоже вдвое: каждое из трёх слагаемых умножено на 2. Высота также удваивается, потому что соответствующие прямоугольные треугольники подобны.
Площадь не является линейным размером и меняется иначе. Не применяй к ней k автоматически: одновременно растут и основание, и высота.
Подумай и объясни
При k = 2 как меняется периметр?
Сверить рассуждение
В 2 раза. Периметры, соответствующие высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников относятся как k.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Периметры, соответствующие высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников относятся как k.
Проверяем один масштаб для всех пар
Для сторон 3, 4, 5 и 6, 8, 11 первые два отношения равны 12, третье отличается. Такой набор не даёт подобных треугольников.
В задачах следи, что найденная неизвестная восстанавливает все нужные пропорции. Углы после изменения масштаба остаются прежними, а не умножаются на k.
Параллельный отрезок сразу даёт подобие
Если M лежит на AB, N — на AC и MN ∥ BC, то AMN ∼ ABC. Угол A общий, углы при M и B равны как соответственные при параллельных прямых. Отсюда AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Сопоставь вершины в одном порядке: A ↔ A, M ↔ B, N ↔ C. Эта схема полезна и для средней линии: при AM/AB = 12 все три отношения равны 12.
Главная мысль
Совпадение одного отношения сторон ещё не доказывает подобие.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и один общий коэффициент отношений сторон.
Если k = AB/DE, то обратное отношение DE/AB равно 1/k.
Периметры, соответствующие высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников относятся как k.
Совпадение одного отношения сторон ещё не доказывает подобие.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.