ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Записываем соответствие частей
Часть BD располагается возле стороны AB, часть DC — возле AC. Если AB больше AC, то BD больше DC. Такое сопоставление помогает не перевернуть только одну дробь.
Например, при AB : AC = 2 : 3 основание делится в том же отношении. Равные углы при A не требуют равных частей BC.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| AD — биссектриса | Части возле соответствующих сторон | BD/DC = AB/AC |
| AB:AC = 2:3 | Основание — пять долей | BD = 2BC/5 |
| AB = AC | Отношение 1:1 | Биссектриса — также медиана |
Подумай и объясни
Если AB : AC = 3:4, каково BD : DC?
Сверить рассуждение
3:4. Если AD — биссектриса в ABC, D на BC, то BD/DC = AB/AC.
Главная мысль
Если AD — биссектриса в ABC, D на BC, то BD/DC = AB/AC.
Площади объясняют отношение
По общей высоте из A их площади относятся как BD/DC. Если взять основания AB и AC, высоты из D к этим сторонам равны, потому что D на биссектрисе. Значит отношение площадей равно AB/AC.
Приравнивая два выражения одного отношения, получаем теорему. Так свойство точек биссектрисы связывается с площадями, хотя численно площади считать не нужно.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Треугольники ABD и ACD можно сравнить двумя способами.
От отношения переходим к длинам
При BC = 20 и отношении 2:3 всего пять долей. BD = 8, DC = 12. Деление 20 на 2 или на 3 по отдельности не даёт нужных частей.
Если дана одна часть, сначала найди размер одной доли, затем вторую. После вычислений проверь отношение и сумму: обе должны совпасть с условием.
Подумай и объясни
BC = 21, отношение 2:5: какова меньшая часть?
Сверить рассуждение
6. Для BC = L и AB : AC = p : q части равны Lp/(p + q) и Lq/(p + q).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для BC = L и AB : AC = p : q части равны Lp/(p + q) и Lq/(p + q).
Равные части дают равные стороны
Из BD = DC следует отношение 1, значит AB = AC. Поэтому в равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию и медиана совпадают.
Обратный вывод работает для указанной биссектрисы. Само равенство частей BC у произвольного отрезка AD означает лишь медиану и не доказывает равенство боковых сторон.
Главная мысль
Если биссектриса одновременно медиана, прилежащие стороны равны.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Если AD — биссектриса в ABC, D на BC, то BD/DC = AB/AC.
Треугольники ABD и ACD можно сравнить двумя способами.
Для BC = L и AB : AC = p : q части равны Lp/(p + q) и Lq/(p + q).
Если биссектриса одновременно медиана, прилежащие стороны равны.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.