§ 24. Решение задач: подобие треугольников

Рассмотри прямоугольные треугольники AHN и CHK. У них по прямому углу, а углы при H вертикальные, значит треугольники подобны. Соответствие вершин: A ↔ C, H ↔ H, N ↔ K. Поэтому AH/CH = HN/HK. Перемножение крест-накрест даёт AH · HK = CH · HN.

Если AH = 6, HK = 2, CH = 4, то HN = 6 · 24 = 3. Условия «остроугольный» и порядок точек A—H—K, C—H—N помогают правильно выбрать части высот. Нельзя подставлять вместо части полную высоту.

Пусть AD ∥ BC, K — середина AD, P — пересечение продолжений AB и DC. Прямая PK пересечёт BC в M. Из подобия BPM и APK, CPM и DPK получаем BM/AK = PM/PK = CM/DK. Так как AK = DK, то BM = CM: M — середина BC.

Для пересечения диагоналей O доказательство похоже: углы при O вертикальные, основания параллельны. Подобие BOM и DOK, COM и AOK даёт BM/DK = MO/KO = CM/AK. Снова BM = CM. На модели можно увидеть обе линии как одну. Кроме того, AOD ∼ COB, поэтому AO/OC = AD/BC.

Пусть PK — медиана треугольника PAD и BC ∥ AD; M — пересечение BC с PK. Это та же схема подобия, что в трапеции: BM/CM = AK/KD = 1. Значит BM = MC. Срез не обязательно проходит через середины сторон PA и PD.

Если BC = 10, получим BM = MC = 5 независимо от высоты расположения среза. Другой полезный вывод из высот: в остроугольном ABC отрезок между основаниями высот из A и C образует с B треугольник, подобный ABC. Равенство угла B и пропорция прилежащих сторон дают признак СУС.

В равнобедренном ABC (AB = BC) высоты BK и AM пересекаются в H. Пусть AH = 5, HM = 3, H внутри треугольника. Луч BH делит угол ABM пополам. По свойству биссектрисы AB/BM = 53: обозначим AB = 5t, BM = 3t. В прямоугольном ABM отрезок AM = 8, поэтому 25t² − 9t² = 64, t = 2. Значит AB = BC = 10, BM = 6.

В HMB: BH² = 6² + 3² = 45, BH = 3√5. Треугольники BKC и BMH подобны по двум углам, откуда BK/BC = BM/BH. Значит BK = 10 · 6/(3√5) = 4√5. Проверь: новая высота больше BH, потому что K находится дальше на том же луче. Один рисунок связал сразу три уже изученных метода.