§ 25. Касательная к окружности

Сравни расстояние d от центра до прямой с радиусом r. Если d > r, общих точек нет; при d = r прямая касается окружности; при d < r она пересекает её в двух точках.

Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру. Длина произвольного наклонного отрезка от центра не позволяет сделать такой вывод.

Если AT касается окружности в T, а O — центр, то OT ⟂ AT. Треугольник AOT прямоугольный: AO — гипотенуза, OT — радиус, AT — отрезок касательной.

Обратно: если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна её радиусу, это касательная. Так можно обосновать касание без подсчёта общих точек.

Пусть PA и PB — касательные. Прямоугольные треугольники POA и POB имеют общую гипотенузу PO и равные радиусы OA, OB. Поэтому они равны, откуда PA = PB.

Луч PO также делит угол APB пополам. Равны именно отрезки от одной внешней точки до точек касания, а не произвольно выбранные части касательных прямых.

Окружность, вписанная в угол

Если окружность касается обеих сторон угла, её центр лежит на биссектрисе. Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам, поэтому расстояния от центра до сторон одинаковы.

В доказанных равных треугольниках POA и POB равны и углы при P: ∠APO = ∠OPB. Поэтому для угла 60° луч к центру образует с каждой его стороной угол 30°. Это свойство относится к окружности, касающейся именно сторон угла, а не только их продолжений.

При PO = 13 и r = 5 имеем PT² = 169 − 25 = 144, значит PT = 12. Берём положительный корень, потому что ищем длину.

Проверь PO > r: из внутренней точки касательную провести нельзя. Из точки самой окружности проходит одна касательная, из внешней — две.