ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Снаружи: сумма радиусов
Мысленно двигай центры навстречу. Пока расстояние между ними больше суммы радиусов, между окружностями остаётся зазор. При d = R + r зазор исчезает: возникает внешнее касание.
Точка внешнего касания лежит между центрами на соединяющем их отрезке. При радиусах 5 и 3 внешнее касание происходит при d = 8.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| d > R + r или d < |R − r| | Раздельно снаружи или одна внутри другой | 0 общих точек |
| d = R + r или d = |R − r| > 0 | Касание | 1 общая точка |
| |R − r| < d < R + r | Пересечение | 2 общие точки |
| d = 0 и R = r | Окружности совпали | Бесконечно много общих точек |
Подумай и объясни
При R = 5, r = 3 внешнее касание имеет место при d = …
Сверить рассуждение
8. Если d > R + r, окружности расположены вне друг друга и не пересекаются.
Главная мысль
Если d > R + r, окружности расположены вне друг друга и не пересекаются.
Внутри: разность радиусов
Меньшая окружность находится внутри большей и касается её в одной точке. Центры и точка касания лежат на одной прямой, но точка касания не лежит между центрами.
Если d < |R − r|, меньшая окружность полностью внутри большей без общих точек. Например, при радиусах 5 и 3 и расстоянии 1 окружности не пересекаются.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При разных радиусах d = |R − r| означает внутреннее касание.
Между двумя границами — две точки
Для радиусов 5 и 3 подходит любое d строго между 2 и 8. Например, d = 4 даёт две общие точки. Равенство на границах означало бы касание.
Отрезки от центров к общей точке образуют треугольник со сторонами R, r, d. Его неравенства треугольника объясняют обе строгие границы.
Подумай и объясни
Сколько общих точек при R = 5, r = 3, d = 4?
Сверить рассуждение
Две. Две окружности пересекаются в двух точках, если |R − r| < d < R + r.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Две окружности пересекаются в двух точках, если |R − r| < d < R + r.
Совпадающие центры — отдельный случай
Если центры совпали, но радиусы разные, общих точек нет. Если совпали и центры, и радиусы, это одна и та же окружность, и общих точек бесконечно много.
Не называй случай d = 0, R = r внутренним касанием: формальное равенство d = |R − r| здесь требует отдельного рассмотрения.
Главная мысль
При d = 0 окружности либо концентрические и разные, либо совпадают.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Если d > R + r, окружности расположены вне друг друга и не пересекаются.
При разных радиусах d = |R − r| означает внутреннее касание.
Две окружности пересекаются в двух точках, если |R − r| < d < R + r.
При d = 0 окружности либо концентрические и разные, либо совпадают.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.