ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Одна и та же пара: равна и параллельна
Пусть AD = BC и AD ∥ BC. Диагональ BD даёт общую сторону и равные накрест лежащие углы. Два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства других углов следует AB ∥ CD.
В условии важна одна и та же пара сторон. Если одна пара только равна, а другая только параллельна, может получиться равнобедренная трапеция.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Две пары противоположных сторон равны | Достаточно | Параллелограмм |
| Одна и та же пара равна и параллельна | Достаточно | Параллелограмм |
| Диагонали делятся пополам | Достаточно | Параллелограмм |
Подумай и объясни
Какой набор достаточен?
Сверить рассуждение
AB = CD и AB ∥ CD. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, он является параллелограммом.
Главная мысль
Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, он является параллелограммом.
Две пары равных сторон
Диагональ делит его на треугольники с тремя равными парами сторон. Равенство соответствующих углов даёт обе пары параллельных сторон. Так равенства длин превращаются в определение.
Нужно сопоставить именно противоположные стороны. Две пары равных соседних сторон задают другую возможную фигуру — дельтоид — и сами по себе не доказывают параллелограмм.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если противоположные стороны попарно равны, четырёхугольник — параллелограмм.
Диагонали взаимно делятся пополам
Равенства AO = OC и BO = OD вместе с вертикальными углами дают равные треугольники. Отсюда получаются параллельные противоположные стороны.
Одна диагональ, поделённая пополам, недостаточна: вторая тоже должна делиться на равные части. Равенство самих диагоналей — отдельное свойство, которое не заменяет этот признак.
Подумай и объясни
Нужно ли деление пополам обеих диагоналей?
Сверить рассуждение
Да. Если точка пересечения делит каждую диагональ пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если точка пересечения делит каждую диагональ пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
Разделяем доказательство и применение
Если по диагоналям доказан параллелограмм, можно найти противоположную сторону по известной и соседний угол через 180°. Нельзя заранее предполагать эти свойства ради доказательства того же самого.
В записи решения перечисли конкретные равенства и назови признак. Слова «похоже на параллелограмм» не дают доказательства: длины и углы рисунка не являются условиями.
Главная мысль
Сначала устанавливают признак, затем используют свойства параллелограмма.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, он является параллелограммом.
Если противоположные стороны попарно равны, четырёхугольник — параллелограмм.
Если точка пересечения делит каждую диагональ пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
Сначала устанавливают признак, затем используют свойства параллелограмма.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.