ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Четыре прямых угла
Соседний с 90° угол равен 180° − 90° = 90°, противоположные равны. Поэтому условие об одном прямом угле достаточно, если параллелограмм уже установлен.
У произвольного четырёхугольника один прямой угол не заставляет остальные стать прямыми. Не пропускай исходное ограничение в формулировке признака.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Прямоугольник | Параллелограмм с прямым углом | Все углы по 90° |
| Диагонали | Равны и делятся пополам | Не обязаны быть перпендикулярны |
| Признак | Параллелограмм + равные диагонали | Прямоугольник |
Подумай и объясни
Достаточно ли одного прямого угла у параллелограмма?
Сверить рассуждение
Да. Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом; тогда все его углы прямые.
Главная мысль
Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом; тогда все его углы прямые.
Диагонали равны и делятся пополам
Треугольники с двумя соседними сторонами и прямым углом между ними равны; их третьи стороны — диагонали. Значит равны и диагонали. Вместе с делением пополам получаем OA = OB = OC = OD.
Если AC = 10, расстояние O до каждой вершины равно 5. Но диагонали не обязаны быть перпендикулярны: это дополнительное свойство квадрата.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
У прямоугольника AC = BD, а их пересечение O делит обе пополам.
Обратное свойство требует параллелограмма
Равные диагонали помогают получить равные соседние углы через равенство треугольников. Их сумма уже равна 180°, значит каждый 90°.
У равнобедренной трапеции диагонали тоже равны, но она не прямоугольник. Поэтому слово «параллелограмм» нельзя убрать из признака.
Подумай и объясни
Равные диагонали любого четырёхугольника достаточны?
Сверить рассуждение
Нет. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Стороны и диагональ описывают разные размеры
По периметру 30 и стороне 6 сначала найдём полупериметр 15, затем другую сторону 9. Делить 30 пополам и называть 15 второй стороной нельзя.
Каждая диагональ делит фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Их гипотенузой является диагональ, а катетами — соседние стороны. Позже это даст связь через теорему Пифагора.
Главная мысль
Периметр прямоугольника 2(a + b), а диагональ соединяет противоположные вершины.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом; тогда все его углы прямые.
У прямоугольника AC = BD, а их пересечение O делит обе пополам.
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Периметр прямоугольника 2(a + b), а диагональ соединяет противоположные вершины.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.