ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Одинаковые стороны и прямые углы
Можно сказать и так: ромб с прямым углом. В первом случае к прямым углам добавляем равенство сторон, во втором к равным сторонам — прямые углы. Получается одна и та же фигура.
Не называй квадратом ромб только из-за равных сторон или прямоугольник только из-за прямых углов. Для полного определения нужны оба свойства.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Прямоугольник + соседние стороны равны | Квадрат | Все стороны равны |
| Ромб + один прямой угол | Квадрат | Все углы прямые |
| Диагонали квадрата | Равны, перпендикулярны, делятся пополам | Обе — биссектрисы углов |
Подумай и объясни
Любой ли прямоугольник является квадратом?
Сверить рассуждение
Нет. Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
Главная мысль
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
Диагонали имеют все особые свойства
Из свойств прямоугольника берём равенство диагоналей, из ромба — перпендикулярность и биссектрисы. Из параллелограмма — деление пополам. Поэтому каждый угол при вершине между стороной и диагональю равен 45°.
Эти условия нельзя без доказательства переносить на любой параллелограмм. В обычном параллелограмме гарантировано только взаимное деление диагоналей пополам.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы вершин пополам.
Распознаём квадрат по достаточным данным
Равенство диагоналей делает его прямоугольником, перпендикулярность — ромбом. Вместе получаем квадрат. Аналогично прямоугольник с равными соседними сторонами становится квадратом.
У произвольного четырёхугольника сначала проверь параллелограмм или взаимное деление диагоналей пополам. Признак всегда читается целиком, включая исходный вид фигуры.
Подумай и объясни
Достаточны ли равные соседние стороны у прямоугольника?
Сверить рассуждение
Да. Параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом.
Симметрия и расчёт
Две оси идут по диагоналям, две — через середины противоположных сторон. Периметр равен 4a. Площадь равна a², поэтому удвоение стороны удваивает периметр, но увеличивает площадь вчетверо.
Поворот рисунка не меняет его вид. Квадрат, поставленный на вершину, остаётся квадратом, даже если выглядит как привычное изображение ромба.
Главная мысль
У квадрата четыре оси симметрии и центр симметрии — пересечение диагоналей.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы вершин пополам.
Параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом.
У квадрата четыре оси симметрии и центр симметрии — пересечение диагоналей.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.