ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Соединяем именно две середины
В ABC пусть M — середина AB, N — середина AC. Тогда MN — средняя линия. Через произвольные точки на сторонах, даже если отрезок выглядит горизонтальным, средняя линия не получится.
У треугольника три средние линии — по одной для каждой пары сторон. Каждая относится к оставшейся, третьей стороне.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Середины двух сторон | Соединяем отрезком | Средняя линия |
| Положение | Параллельна третьей стороне | MN ∥ BC |
| Длина | Вдвое меньше третьей стороны | MN = BC/2 |
Подумай и объясни
Что нужно для MN как средней линии?
Сверить рассуждение
M и N — середины двух сторон. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
Главная мысль
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
Параллельна третьей стороне и вдвое короче
При BC = 14 см получаем MN = 7 см. Обратный числовой вопрос: если средняя линия 9 см, соответствующая сторона 18 см. Сначала сопоставь отрезок с правильной третьей стороной.
Идея доказательства: продлить среднюю линию на равный отрезок и получить пары равных треугольников, затем параллелограмм. Удвоенный отрезок совпадает по длине с третьей стороной.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
MN ∥ BC и MN = BC/2.
Параллель через середину находит вторую
Если M — середина AB и MN ∥ BC, точка N на AC тоже середина. Это следствие теоремы Фалеса. В задаче можно сначала установить вторую середину, затем применить длину средней линии.
Важно, какой стороне проведена параллель. Линия через M, параллельная AB, вообще не пересечёт AC нужным образом и не является искомой средней линией.
Подумай и объясни
Достаточны ли M — середина AB и MN ∥ BC при N на AC?
Сверить рассуждение
Да. Прямая через середину одной стороны, параллельная другой стороне, пересекает третью в её середине.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Прямая через середину одной стороны, параллельная другой стороне, пересекает третью в её середине.
Три средние линии образуют внутренний треугольник
Поэтому его периметр вдвое меньше. При сторонах 6, 8, 10 средние линии равны 3, 4, 5. Внутри возникают четыре равных по размерам треугольника.
Позже из подобия получим отношение площадей 1:4. Не переносись от половины длины сразу к половине площади: длина и площадь меняются по-разному.
Главная мысль
Стороны треугольника из середин сторон вдвое меньше соответствующих сторон исходного треугольника.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
MN ∥ BC и MN = BC/2.
Прямая через середину одной стороны, параллельная другой стороне, пересекает третью в её середине.
Стороны треугольника из середин сторон вдвое меньше соответствующих сторон исходного треугольника.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.