§ 9. Свойство медиан треугольника

Если M — середина BC, отрезок AM — медиана. Это деление BC пополам не означает, что любая точка на AM делит пополам саму медиану.

Проведи две медианы и отметь пересечение G. Теорема утверждает, что третья проходит через ту же точку, а не создаёт новую точку пересечения.

Если AM = 15 см, от A до G — 10 см, от G до M — 5 см. Если дана меньшая часть 4 см, вся медиана равна 12 см.

Не дели целую медиану на 2: отношение состоит из трёх одинаковых долей. Число 2 относится к большей части, а не к числу кусков на рисунке.

Пусть медианы AM и BN пересекаются в G. Возьми середины K и L отрезков AG и BG. Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABG и ABC: оба параллельны AB и равны AB/2. Поэтому KLMN — параллелограмм.

Диагонали KM и LN параллелограмма делятся точкой G пополам: KG = GM. Но AK = KG, значит AG = 2GM. Та же проверка для третьей медианы даёт точку на AM с тем же отношением 2:1, то есть ту же G. Сами медианы при этом не обязаны быть равны.

Если AG = 14 см, это две доли. Одна доля 7, вся медиана 21. Если GM = 14, вся медиана уже 42. Одинаковое число даёт разные ответы из-за названия отрезка.

Точка G всегда внутри треугольника. Не путай её с пересечением высот, которое у тупоугольного треугольника может лежать снаружи.