ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Запрещённые значения
Решение дробного уравнения принадлежит ОДЗ. Умножение на общий знаменатель на этой области обратимо; за её пределами новая запись может иметь лишние корни.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
В 2/(x−1)=3/x заранее исключи 1 и 0. Общий знаменатель x(x−1).
Маршрут рассуждения
- Запрещённые значения
До умножения выпиши значения, при которых исходные знаменатели равны нулю.
- Убираем дроби
Умножь каждое слагаемое обеих частей на общий знаменатель.
- Отбираем корни
Проверь каждого кандидата по ОДЗ и исходному уравнению.
- Задачи на движение и работу
Величины в знаменателях должны иметь смысл: время, скорость и производительность положительны.
Главная мысль
До умножения выпиши значения, при которых исходные знаменатели равны нулю.
Убираем дроби
В уравнении знак равенства сохраняется даже при отрицательном множителе. Важно умножить каждое слагаемое, в том числе целое число, а не только дроби.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
2/(x−1)=3/x даёт 2x=3(x−1), откуда x=3. Он не запрещён, значит, это корень.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Умножь каждое слагаемое обеих частей на общий знаменатель.
Отбираем корни
Сокращение может скрыть запрет. Если после преобразования получилось тождество, решением будут все числа из ОДЗ; если противоречие — решений нет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(x²−1)/(x−1)=2 даёт x+1=2, x=1. Но x=1 запрещён, поэтому корней нет.
Подумай и объясни
Что сделать с корнем, нарушающим ОДЗ?
Сверить рассуждение
Исключить. Проверь каждого кандидата по ОДЗ и исходному уравнению.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Проверь каждого кандидата по ОДЗ и исходному уравнению.
Задачи на движение и работу
Составь таблицу величин. При фиксированном пути время равно пути, делённому на скорость; при единичной работе производительность равна 1/время. После алгебраического решения проверь смысл.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Мастер делает работу за x часов, помощник за 2x. Вместе за 4 часа: 1/x+1/(2x)=14, откуда x=6 часов.
Разберём ошибку
Неверно Что равно производительности при работе объёма 1 за t часов? — t
Величины в знаменателях должны иметь смысл: время, скорость и производительность положительны.
Как рассуждать: Верный ответ: 1/t.
Главная мысль
Величины в знаменателях должны иметь смысл: время, скорость и производительность положительны.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
До умножения выпиши значения, при которых исходные знаменатели равны нулю.
Умножь каждое слагаемое обеих частей на общий знаменатель.
Проверь каждого кандидата по ОДЗ и исходному уравнению.
Величины в знаменателях должны иметь смысл: время, скорость и производительность положительны.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.