ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Что значит решить систему
Графически решения соответствуют общим точкам. У прямой и окружности может быть 0, 1 или 2 общие точки. Координаты нужно записывать в согласованных парах.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Пары (2;3) и (3;2) различны. Обе решают x+y=5, xy=6.
Маршрут рассуждения
- Что значит решить систему
Решение системы — упорядоченная пара (x;y), удовлетворяющая всем уравнениям.
- Способ подстановки
Вырази одну переменную и подставь во второе уравнение.
- Сумма и произведение
При x+y=s и xy=p числа x,y — корни t²−st+p=0.
- Сложение и замена переменных
Ищи выражения, которые повторяются или взаимно уничтожаются.
Главная мысль
Решение системы — упорядоченная пара (x;y), удовлетворяющая всем уравнениям.
Способ подстановки
После подстановки получится уравнение с одной неизвестной. Для каждого его корня восстанови вторую координату именно по выбранному выражению; не смешивай результаты разных ветвей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Из y=x+1 и x²+y²=5: x²+(x+1)²=5. Корни x=1 и −2, поэтому пары (1;2) и (−2;−1).
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Вырази одну переменную и подставь во второе уравнение.
Сумма и произведение
Это теорема Виета, прочитанная как способ решения системы. Два различных корня дают две перестановки; совпавшие — одну пару. Если действительных корней нет, действительных решений системы тоже нет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
x+y=7, xy=12. У t²−7t+12=0 корни 3 и 4; ответ (3;4), (4;3).
Сколько решений у x+y=s, xy=p?
| Условие | Корни t²−st+p | Пары (x;y) |
|---|---|---|
| s²−4p>0 | Два различных корня r₁,r₂ | (r₁;r₂) и (r₂;r₁) |
| s²−4p=0 | Один двукратный корень s/2 | Одна пара (s/2;s/2) |
| s²−4p<0 | Нет действительных корней | Нет действительных решений |
Подумай и объясни
Если корни вспомогательного уравнения совпали, пар…
Сверить рассуждение
Одна. При x+y=s и xy=p числа x,y — корни t²−st+p=0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При x+y=s и xy=p числа x,y — корни t²−st+p=0.
Сложение и замена переменных
Вычитание уравнений может убрать квадраты. Замена u=x², v=y² делает некоторые системы линейными, но затем нужно вернуться к x,y и учесть знаки. Проверка проводится в исходной системе.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
x²+y²=25, x²−y²=7. Получим x²=16, y²=9, то есть четыре пары (±4;±3), со всеми сочетаниями знаков.
Разберём ошибку
Неверно Из x²=16 следует… — Только x=4
Ищи выражения, которые повторяются или взаимно уничтожаются.
Как рассуждать: Верный ответ: x=4 или x=−4.
Главная мысль
Ищи выражения, которые повторяются или взаимно уничтожаются.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Решение системы — упорядоченная пара (x;y), удовлетворяющая всем уравнениям.
Вырази одну переменную и подставь во второе уравнение.
При x+y=s и xy=p числа x,y — корни t²−st+p=0.
Ищи выражения, которые повторяются или взаимно уничтожаются.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.