ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Расстояние между точками
Горизонтальное и вертикальное перемещения образуют катеты прямоугольного треугольника. Знаки разностей не влияют на квадраты, поэтому порядок точек в формуле не важен.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
A(−1;2), B(2;6): разности 3 и 4, AB=√(9+16)=5.
Маршрут рассуждения
- Расстояние между точками
AB²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)².
- Окружность как условие
(x−a)²+(y−b)²=R² — окружность центра (a;b) и радиуса R>0.
- Восстановим центр
Выделение полных квадратов показывает центр и радиус.
- Принадлежность и пересечения
Сравни квадрат расстояния до центра с R².
Главная мысль
AB²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)².
Окружность как условие
Каждая её точка удалена от центра на одно и то же расстояние. Справа стоит квадрат радиуса. Если справа ноль — одна точка, если отрицательное число — действительных точек нет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(x+2)²+(y−3)²=25: центр (−2;3), радиус 5.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
(x−a)²+(y−b)²=R² — окружность центра (a;b) и радиуса R>0.
Восстановим центр
Сгруппируй выражения с x и y отдельно. Добавленные числа нужно компенсировать. После этого проверь знак правой части, прежде чем называть кривую окружностью.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
x²+y²−4x+6y−12=0 → (x−2)²+(y+3)²=25. Центр (2;−3), R=5.
Подумай и объясни
Центр (x−2)²+(y+3)²=25?
Сверить рассуждение
(2;−3). Выделение полных квадратов показывает центр и радиус.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Выделение полных квадратов показывает центр и радиус.
Принадлежность и пересечения
Равенство означает точку на окружности, меньшее значение — внутри круга, большее — снаружи. Для пересечения с прямой подставь её уравнение в уравнение окружности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
На x²+y²=25 точка (3;4) лежит, (0;0) находится внутри. Прямая y=5 имеет с окружностью единственную общую точку (0;5).
Разберём ошибку
Неверно Если расстояние до центра меньше R, точка… — На окружности
Сравни квадрат расстояния до центра с R².
Как рассуждать: Верный ответ: Внутри круга.
Главная мысль
Сравни квадрат расстояния до центра с R².
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
AB²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)².
(x−a)²+(y−b)²=R² — окружность центра (a;b) и радиуса R>0.
Выделение полных квадратов показывает центр и радиус.
Сравни квадрат расстояния до центра с R².
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.