ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Одна сторона — ноль
Только после этого раскладывай числитель и знаменатель на множители. Умножать неравенство на выражение неизвестного знака опасно: при отрицательном множителе знак неравенства меняется.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
1/x>1 равносильно (1−x)/x>0, x≠0. Нельзя без разбора знака x просто написать 1>x.
Маршрут рассуждения
- Одна сторона — ноль
Перенеси всё в одну часть и приведи к одной дроби.
- Отмечаем критические точки
Нули числителя и знаменателя делят прямую на интервалы постоянного знака.
- Границы и кратность
Нули знаменателя исключаются всегда; нули числителя включаются только при нестрогом знаке и допустимости.
- Записываем ответ
Ответ — объединение всех подходящих интервалов и разрешённых граничных точек.
Главная мысль
Перенеси всё в одну часть и приведи к одной дроби.
Отмечаем критические точки
На каждом интервале возьми удобную пробную точку или определи знаки множителей. Знак произведения отрицателен при нечётном числе отрицательных множителей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для (x−1)/(x−3) точки 1 и 3. При x=0 знак плюс, при x=2 минус, при x=4 плюс.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Нули числителя и знаменателя делят прямую на интервалы постоянного знака.
Границы и кратность
Множитель чётной степени не меняет знак при переходе через его корень; нечётной — меняет. Сокращённый общий множитель оставляет запрещённую точку исходной дроби.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(x−1)²/(x+2)≥0 даёт (−2;+∞): точка 1 включена, точка −2 исключена. По обе стороны от 1 знак одинаков.
Подумай и объясни
При переходе через корень чётной кратности знак…
Сверить рассуждение
Сохраняется. Нули знаменателя исключаются всегда; нули числителя включаются только при нестрогом знаке и допустимости.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Нули знаменателя исключаются всегда; нули числителя включаются только при нестрогом знаке и допустимости.
Записываем ответ
Проверь отдельно один внутренний пример и каждую границу. В системе неравенств берут пересечение решений, в совокупности — объединение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(x−1)/(x−3)≤0: [1;3). При x=1 получается ноль, а x=3 запрещён.
Разберём ошибку
Неверно Какая скобка у нуля знаменателя? — Квадратная всегда
Ответ — объединение всех подходящих интервалов и разрешённых граничных точек.
Как рассуждать: Верный ответ: Круглая: точка исключена.
Главная мысль
Ответ — объединение всех подходящих интервалов и разрешённых граничных точек.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Перенеси всё в одну часть и приведи к одной дроби.
Нули числителя и знаменателя делят прямую на интервалы постоянного знака.
Нули знаменателя исключаются всегда; нули числителя включаются только при нестрогом знаке и допустимости.
Ответ — объединение всех подходящих интервалов и разрешённых граничных точек.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.