ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Идея пар
Один член при движении внутрь увеличивается на d, другой уменьшается на d. Поэтому сумма пары сохраняется. Запиши всю сумму дважды в противоположных порядках — получится n одинаковых пар.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
1+2+…+100: каждая пара даёт 101, таких пар в удвоенной записи 100. Сумма 100·1012=5050.
Маршрут рассуждения
- Идея пар
В арифметической прогрессии a₁+aₙ=a₂+aₙ₋₁.
- Две формулы суммы
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 = n[2a₁+(n−1)d]/2.
- Находим количество членов
Если задан последний член, сначала реши aₙ=a₁+(n−1)d.
- Сумма и отдельный член
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ при n≥2; a₁=S₁.
Главная мысль
В арифметической прогрессии a₁+aₙ=a₂+aₙ₋₁.
Две формулы суммы
Первая запись удобна, когда известны крайние члены, вторая — когда известны первый член и разность. Формулы работают при отрицательных d и членах, а также при нечётном n.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
a₁=3,d=2,n=5: a₅=11, S₅=5(3+11)/2=35.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 = n[2a₁+(n−1)d]/2.
Находим количество членов
Не путай расстояние между крайними числами с количеством слагаемых. При счёте обе границы включены: число переходов на один меньше числа членов.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Сумма 5+8+…+29: n=(29−5)/3+1=9; S=9(5+29)/2=153.
Подумай и объясни
Количество членов от 5 до 29 с шагом 3?
Сверить рассуждение
9. Если задан последний член, сначала реши aₙ=a₁+(n−1)d.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если задан последний член, сначала реши aₙ=a₁+(n−1)d.
Сумма и отдельный член
Из суммы первых n членов вычти сумму первых n−1 — останется последний. Этот приём позволяет восстановить прогрессию, если задана формула суммы.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если Sₙ=n², то aₙ=n²−(n−1)²=2n−1: получаем нечётные числа 1,3,5,… .
Разберём ошибку
Неверно Чему равно S₅−S₄? — a₄
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ при n≥2; a₁=S₁.
Как рассуждать: Верный ответ: a₅.
Главная мысль
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ при n≥2; a₁=S₁.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
В арифметической прогрессии a₁+aₙ=a₂+aₙ₋₁.
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 = n[2a₁+(n−1)d]/2.
Если задан последний член, сначала реши aₙ=a₁+(n−1)d.
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ при n≥2; a₁=S₁.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.