ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Постоянное отношение
Так геометрическая прогрессия определена в этом учебнике: все её члены ненулевые. Знаменатель q=bₙ₊₁/bₙ. При отрицательном q знаки чередуются; q не обязан быть целым.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
12; 6; 3; 1,5; … имеют q=12. А 2; −6; 18; −54; … имеют q=−3.
Маршрут рассуждения
- Постоянное отношение
bₙ₊₁=bₙq, где b₁≠0 и q≠0.
- Формула общего члена
bₙ=b₁qⁿ⁻¹.
- Соседние члены
bₙ²=bₙ₋₁bₙ₊₁.
- Процентное изменение
Рост на p% соответствует q=1+p/100; снижение — q=1−p/100.
Главная мысль
bₙ₊₁=bₙq, где b₁≠0 и q≠0.
Формула общего члена
Множитель q применяется n−1 раз. При отрицательном q чётность показателя определяет знак. Вычисляй степень всего отрицательного числа в скобках.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
b₁=3,q=−2: b₄=3·(−2)³=−24. Четвёртый член отрицателен, хотя его номер чётный.
Размер членов и их знаки
| Условие при b₁>0 | Что происходит | Пример |
|---|---|---|
| q>1 | Члены возрастают | 2; 6; 18; … |
| 0<q<1 | Члены убывают к нулю | 8; 4; 2; … |
| q=1 | Все члены одинаковы | 3; 3; 3; … |
| q<0 | Знаки чередуются | 4; −2; 1; … |
Если первый член отрицательный
При b₁<0 и q>1 члены становятся всё меньше: −2; −6; −18; … . При b₁<0 и 0<q<1 они возрастают к нулю: −8; −4; −2; … . Поэтому одного значения q недостаточно, чтобы назвать прогрессию возрастающей или убывающей.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
bₙ=b₁qⁿ⁻¹.
Соседние члены
Для положительных членов средний равен положительному квадратному корню из произведения соседних. Без условия положительности возможны два знака среднего: квадрат сам знак не определяет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Между 4 и 36 могут стоять 12 (q=3) или −12 (q=−3).
Подумай и объясни
Без условия положительности средний между 4 и 36…
Сверить рассуждение
12 или −12. bₙ²=bₙ₋₁bₙ₊₁.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
bₙ²=bₙ₋₁bₙ₊₁.
Процентное изменение
Процент берётся от нового значения на каждом шаге, поэтому изменения перемножаются. Определи, что означает первый член: исходную величину или значение после первого периода.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Цена 200 после двух снижений на 10%: 200·0,9²=162. Снижение не равно 20% от исходной цены.
Разберём ошибку
Неверно Множитель снижения на 10%? — 0,1
Рост на p% соответствует q=1+p/100; снижение — q=1−p/100.
Как рассуждать: Верный ответ: 0,9.
Главная мысль
Рост на p% соответствует q=1+p/100; снижение — q=1−p/100.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
bₙ₊₁=bₙq, где b₁≠0 и q≠0.
bₙ=b₁qⁿ⁻¹.
bₙ²=bₙ₋₁bₙ₊₁.
Рост на p% соответствует q=1+p/100; снижение — q=1−p/100.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.