ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Вывод через сдвиг
Запиши Sₙ=b₁+b₁q+…+b₁qⁿ⁻¹. После умножения на q ряд сдвигается: qSₙ=b₁q+…+b₁qⁿ. Вычитание оставляет b₁−b₁qⁿ.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для 2+6+18 сумма 26, её тройная копия 6+18+54. Разность 26−78=2−54 подтверждает сокращение.
Маршрут рассуждения
- Вывод через сдвиг
В разности Sₙ−qSₙ сокращаются все внутренние члены.
- Формула суммы
При q≠1: Sₙ=b₁(1−qⁿ)/(1−q).
- Случай q=1
Если q=1, то Sₙ=nb₁.
- Практический смысл
Сумма считает все накопленные слагаемые, а не только последний результат.
Главная мысль
В разности Sₙ−qSₙ сокращаются все внутренние члены.
Формула суммы
Равносильная запись b₁(qⁿ−1)/(q−1) получается сменой обоих знаков. Выбирай удобную, но не смешивай числитель одной формы со знаменателем другой.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
b₁=3,q=2,n=4: S₄=3(16−1)/(2−1)=45. Прямая сумма 3+6+12+24 тоже 45.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При q≠1: Sₙ=b₁(1−qⁿ)/(1−q).
Случай q=1
Все члены одинаковы. В общую дробную формулу подставлять q=1 нельзя: получится 00. При q=−1 формула разрешена, а члены попарно уничтожаются.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
5+5+5+5=20. Для 5−5+5−5 сумма ноль; при пяти слагаемых сумма была бы 5.
Подумай и объясни
Как найти сумму при q=1?
Сверить рассуждение
nb₁. Если q=1, то Sₙ=nb₁.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если q=1, то Sₙ=nb₁.
Практический смысл
Прежде чем применять формулу, выпиши первые два-три члена и проверь число периодов. В задаче о выплатах разница между одной выплатой в конце и суммой всех выплат существенна.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Платежи 10,20,40,80: четвёртый равен 80, общая сумма равна 150.
Разберём ошибку
Неверно Чем отличается bₙ от Sₙ? — Ничем
Сумма считает все накопленные слагаемые, а не только последний результат.
Как рассуждать: Верный ответ: Один член и сумма первых n членов.
Главная мысль
Сумма считает все накопленные слагаемые, а не только последний результат.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
В разности Sₙ−qSₙ сокращаются все внутренние члены.
При q≠1: Sₙ=b₁(1−qⁿ)/(1−q).
Если q=1, то Sₙ=nb₁.
Сумма считает все накопленные слагаемые, а не только последний результат.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.