ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Когда появляется предел
Слово «убывающая» здесь означает уменьшение модулей членов: при q<0 знаки чередуются. В определении прогрессии q≠0. При |q|<1 степень qⁿ приближается к нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
1+12+14+… приближается к 2. А 1−2+4−8+… не имеет конечной суммы, хотя q=−2<1.
Маршрут рассуждения
- Когда появляется предел
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0<|q|<1.
- Сумма бесконечного ряда
S=b₁/(1−q) при 0<|q|<1.
- Отрицательный знаменатель
При −1<q<0 частичные суммы колеблются около предела.
- Периодическая дробь и остаток
Остаток после n членов равен S−Sₙ=b₁qⁿ/(1−q).
Главная мысль
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0<|q|<1.
Сумма бесконечного ряда
В формуле конечной суммы b₁(1−qⁿ)/(1−q) с ростом n исчезает вклад qⁿ. Сумма — предел частичных сумм, а не результат обычного конечного сложения бесконечной строки.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
6+3+1,5+… имеет S=6/(1−12)=12. Частичные суммы 6,9,10,5,… приближаются к 12 снизу.
Не смешивай член и частичную сумму
- Члены уменьшаются
Для 1+12+14+… отдельные числа 1; 12; 14; … стремятся к 0.
- Частичные суммы накапливаются
S₁=1, S₂=32, S₃=74, S₄=158. Они приближаются к 2.
- Предел суммы другой
Нулевой предел членов не означает нулевую сумму. Обратное тоже неверно: одного стремления членов к нулю недостаточно для сходимости произвольного ряда; здесь помогает именно геометрическая прогрессия.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
S=b₁/(1−q) при 0<|q|<1.
Отрицательный знаменатель
Слагаемые меняют знак, но становятся меньше по модулю. Поэтому первые приближения могут быть то выше, то ниже суммы. Формула остаётся той же.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
3−1,5+0,75−…: q=−12, S=3/(1+12)=2. Частичные суммы 3;1,5;2,25;1,875 сходятся к 2.
Подумай и объясни
Может ли q быть отрицательным?
Сверить рассуждение
Да, если |q|<1 и q≠0. При −1<q<0 частичные суммы колеблются около предела.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При −1<q<0 частичные суммы колеблются около предела.
Периодическая дробь и остаток
Остаток показывает точность приближения; для оценки ошибки берут его модуль. Периодическую десятичную дробь можно представить геометрическим рядом по разрядам.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
0,(3)=310+3100+…=(310)/(1−110)=13. Для периода 27: 0,(27)=(27100)/(1−1100)=2799.
Разберём ошибку
Неверно Чему равно 0,(3)? — 3100
Остаток после n членов равен S−Sₙ=b₁qⁿ/(1−q).
Как рассуждать: Верный ответ: 13.
Главная мысль
Остаток после n членов равен S−Sₙ=b₁qⁿ/(1−q).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0<|q|<1.
S=b₁/(1−q) при 0<|q|<1.
При −1<q<0 частичные суммы колеблются около предела.
Остаток после n членов равен S−Sₙ=b₁qⁿ/(1−q).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.