ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Выбери угол и назови стороны
Противолежащий катет не касается выбранного угла, прилежащий его образует вместе с гипотенузой. При переходе ко второму острому углу катеты меняются ролями.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
В треугольнике 3–4–5 для угла напротив стороны 3 противолежащий катет 3, прилежащий 4, гипотенуза 5.
Маршрут рассуждения
- Выбери угол и назови стороны
Гипотенуза лежит напротив прямого угла; катеты называют относительно выбранного острого угла.
- Четыре отношения
sin α=a/c, cos α=b/c, tg α=a/b, ctg α=b/a: a напротив α, b рядом, c гипотенуза.
- Углы 30°, 45°, 60°
sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32.
- Дополнительные углы
sin α=cos(90°−α), tg α=ctg(90°−α).
Главная мысль
Гипотенуза лежит напротив прямого угла; катеты называют относительно выбранного острого угла.
Четыре отношения
Подобные прямоугольные треугольники имеют одинаковые отношения соответствующих сторон. Поэтому эти числа зависят от угла, а не от размера треугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для сторон a=3,b=4,c=5 получаем sin α=35, cos α=45, tg α=34, ctg α=43.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
sin α=a/c, cos α=b/c, tg α=a/b, ctg α=b/a: a напротив α, b рядом, c гипотенуза.
Углы 30°, 45°, 60°
Разрежь равносторонний треугольник высотой: получатся углы 30° и 60°. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы по 45°. По Пифагору выводятся значения, а не просто заучиваются.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для гипотенузы 2 катет напротив 30° равен 1, второй √3. Значит, cos 30°=√32 и tg 30°=1/√3=√33.
Подумай и объясни
sin 30° равно…
Сверить рассуждение
12. sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32.
Опорные углы
| Угол | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 12 | √32 | √33 | √3 |
| 45° | √22 | √22 | 1 | 1 |
| 60° | √32 | 12 | √3 | √33 |
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32.
Дополнительные углы
Два острых угла одного прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. Противолежащий одному уголку катет — прилежащий другому; отсюда равенства отношений.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
cos 60°=sin 30°=12. Для острого угла синус и косинус строго между 0 и 1, а тангенс может быть больше 1.
Разберём ошибку
Неверно Может ли тангенс острого угла быть больше 1? — Нет
sin α=cos(90°−α), tg α=ctg(90°−α).
Как рассуждать: Верный ответ: Да.
Главная мысль
sin α=cos(90°−α), tg α=ctg(90°−α).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Гипотенуза лежит напротив прямого угла; катеты называют относительно выбранного острого угла.
sin α=a/c, cos α=b/c, tg α=a/b, ctg α=b/a: a напротив α, b рядом, c гипотенуза.
sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32.
sin α=cos(90°−α), tg α=ctg(90°−α).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.