ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Прочитай выражение как план
Большая дробная черта — это действие деления над двумя целыми выражениями. Сначала упрости числитель и знаменатель сложной дроби по отдельности. Знаменатель большой дроби тоже должен быть ненулевым.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для (1+1/x)/(1−1/x) нужны x≠0 и x≠1. Первое ограничение — от внутренних дробей, второе — от всего знаменателя.
Маршрут рассуждения
- Прочитай выражение как план
Скобки и дробные черты определяют порядок действий.
- Упростим сложную дробь
Умножение всего числителя и всего знаменателя на общий знаменатель убирает внутренние дроби.
- Используй структуру
Формулы разности квадратов и квадрата суммы часто заменяют длинное раскрытие скобок.
- Проверяем тождество
Тождество доказывают преобразованиями на общей ОДЗ.
Главная мысль
Скобки и дробные черты определяют порядок действий.
Упростим сложную дробь
Домножение применяется ко всем слагаемым. Это тот же основной закон дроби, но общий множитель выбирается так, чтобы сократить мелкие знаменатели.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(1+1/x)/(1−1/x)=(x+1)/(x−1), x≠0,1. После преобразования ограничение x≠0 не видно, но оно по-прежнему действует.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Умножение всего числителя и всего знаменателя на общий знаменатель убирает внутренние дроби.
Используй структуру
Выбирай действие, которое создаёт общий множитель. Раскрывать все скобки сразу бывает невыгодно: произведение лучше показывает возможности сокращения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
[(x²−1)/(x+1)]−x=(x−1)−x=−1 при x≠−1. Длинное приведение к общему знаменателю здесь не требуется.
ПОЧЕМУ ТАК
Отрицательная степень — обратная величина
Для a≠0: a⁻ⁿ=1/aⁿ, где n — натуральное число. Поэтому x⁻¹+2x⁻²=1/x+2/x²=(x+2)/x² при x≠0. Минус в показателе не означает минус перед числом: 2⁻³=18, а не −8.
При делении степеней одинакового основания показатели вычитают: x⁻²/x⁻⁵=x³, но исходное ограничение x≠0 сохраняется. Сначала перепиши отрицательные степени в виде дробей, если правило пока трудно увидеть.
Подумай и объясни
Как разложить x²−1?
Сверить рассуждение
(x−1)(x+1). Формулы разности квадратов и квадрата суммы часто заменяют длинное раскрытие скобок.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Формулы разности квадратов и квадрата суммы часто заменяют длинное раскрытие скобок.
Проверяем тождество
Совпадение при одном числе — лишь проверка на случайную ошибку. Для доказательства можно привести обе части к одному виду или показать, что их разность равна нулю на всей нужной области.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(x²−1)/(x−1)=x+1 при x≠1 — тождество. Подстановка x=2 подтверждает пример, а разложение на множители доказывает общее утверждение.
Разберём ошибку
Неверно Достаточно одной удачной подстановки для доказательства? — Да
Тождество доказывают преобразованиями на общей ОДЗ.
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Тождество доказывают преобразованиями на общей ОДЗ.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Скобки и дробные черты определяют порядок действий.
Умножение всего числителя и всего знаменателя на общий знаменатель убирает внутренние дроби.
Формулы разности квадратов и квадрата суммы часто заменяют длинное раскрытие скобок.
Тождество доказывают преобразованиями на общей ОДЗ.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.