ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Симметрия области
Вместе с каждым допустимым x должен быть допустим −x. Если это не так, функция не чётная и не нечётная, даже когда похожая формула обладает симметрией на более широкой области.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
y=x² на [0;3] не является чётной функцией: точка 2 допустима, а −2 нет.
Маршрут рассуждения
- Симметрия области
Для чётности и нечётности область должна быть симметрична относительно нуля.
- Чётная функция
f(−x)=f(x); график симметричен относительно Oy.
- Нечётная функция
f(−x)=−f(x); график симметричен относительно начала координат.
- Не всякая функция симметрична
Функция может быть ни чётной, ни нечётной; нулевая функция — и та и другая на симметричной области.
Главная мысль
Для чётности и нечётности область должна быть симметрична относительно нуля.
Чётная функция
Замена аргумента противоположным не меняет результат. Построив правую часть графика, отрази её в вертикальной оси; координата y сохранится.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
f(x)=x²+2: f(−x)=(−x)²+2=x²+2. Точки (3;11) и (−3;11) образуют пару.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
f(−x)=f(x); график симметричен относительно Oy.
Нечётная функция
Меняются знаки обеих координат. Если ноль входит в область нечётной функции, то f(0)=0. Но нечётная функция может быть не определена при нуле.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
f(x)=1/x нечётная на ℝ без 0: f(−x)=−1/x. Требование проходить через начало координат к ней неприменимо.
Подумай и объясни
Нечётная функция обязана быть определена при 0?
Сверить рассуждение
Нет. f(−x)=−f(x); график симметричен относительно начала координат.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
f(−x)=−f(x); график симметричен относительно начала координат.
Не всякая функция симметрична
Проверяй равенства для всех допустимых x, а не для одной точки. При сложении чётной и нечётной ненулевых частей обычно получается функция без одной из этих симметрий.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
x²+x: при x=1 значение 2, при x=−1 значение 0. Они не равны и не противоположны.
Проверка симметрии
| Функция на ℝ | f(−x) | Вывод |
|---|---|---|
| x² | x² | Чётная |
| x³ | −x³ | Нечётная |
| x²+x | x²−x | Ни чётная, ни нечётная |
| 0 | 0 | И чётная, и нечётная |
Разберём ошибку
Неверно Какова y=0 на ℝ? — Только чётная
Функция может быть ни чётной, ни нечётной; нулевая функция — и та и другая на симметричной области.
Как рассуждать: Верный ответ: И чётная, и нечётная.
Главная мысль
Функция может быть ни чётной, ни нечётной; нулевая функция — и та и другая на симметричной области.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для чётности и нечётности область должна быть симметрична относительно нуля.
f(−x)=f(x); график симметричен относительно Oy.
f(−x)=−f(x); график симметричен относительно начала координат.
Функция может быть ни чётной, ни нечётной; нулевая функция — и та и другая на симметричной области.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.