ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Вписанный четырёхугольник
Каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Дуги противоположных углов вместе составляют полную окружность, поэтому их полусумма 180°.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если ∠A=70°, то противоположный ∠C=110°. Соседний угол по одному этому значению не определяется.
Маршрут рассуждения
- Вписанный четырёхугольник
У выпуклого вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180°.
- Обратный признак
Если у выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов 180°, около него можно описать окружность.
- Описанный четырёхугольник
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
- Площадь описанного четырёхугольника
S=pr при наличии вписанной окружности.
Главная мысль
У выпуклого вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180°.
Обратный признак
Свойство проверяет известную вписанность, признак доказывает её. Прямоугольник всегда вписанный; параллелограмм вписан только в случае прямоугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У ромба противоположные углы равны. Если их сумма ещё и 180°, каждый 90°, значит, ромб должен быть квадратом.
Какие знакомые фигуры вписаны в окружность?
| Фигура | Условие | Причина |
|---|---|---|
| Прямоугольник | Всегда | 90°+90°=180° |
| Параллелограмм | Только прямоугольник | Противоположные углы равны и должны давать 180° |
| Ромб | Только квадрат | Это параллелограмм с равными сторонами |
| Трапеция | Тогда и только тогда, когда равнобедренная | Углы при основании равны, противоположные — дополнительные |
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если у выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов 180°, около него можно описать окружность.
Описанный четырёхугольник
Проведи от вершин касательные: каждая пара от одной вершины равна. При сложении противоположных сторон получаются те же четыре отрезка в разном порядке.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если стороны по порядку 5,7,8,d, то 5+8=7+d, откуда d=6.
ПОЧЕМУ ТАК
Обратный признак тоже важен
Для выпуклого четырёхугольника верно и обратное: если a+c=b+d, то в него можно вписать окружность. Здесь a,b,c,d — стороны по порядку обхода. Условие выпуклости обязательно.
Это отличает признак от свойства: из наличия окружности получаем равенство, а из равенства для выпуклого четырёхугольника доказываем возможность вписать окружность.
Подумай и объясни
Какая связь сторон необходима?
Сверить рассуждение
a+c=b+d. У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
Площадь описанного четырёхугольника
Разбей четырёхугольник от центра на четыре треугольника одинаковой высоты r. Получится r(a+b+c+d)/2. Формула не переносится на произвольный четырёхугольник с произвольно нарисованной окружностью.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При периметре 30 и r=2 площадь 15·2=30. Сначала нужно знать, что окружность касается всех четырёх сторон.
Разберём ошибку
Неверно Что требуется для S=pr? — Окружность проходит через вершины
S=pr при наличии вписанной окружности.
Как рассуждать: Верный ответ: Окружность касается всех сторон.
Главная мысль
S=pr при наличии вписанной окружности.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
У выпуклого вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180°.
Если у выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов 180°, около него можно описать окружность.
У четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
S=pr при наличии вписанной окружности.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.