ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Касательные треугольника
Обозначь касательные от A,B,C через x,y,z. Тогда стороны равны x+y,y+z,z+x, а полупериметр x+y+z. Вычитая противоположную сторону, получаем нужный отрезок.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При a=13,b=14,c=15 полупериметр 21. От A касательные длины 8, от B — 7, от C — 6.
Маршрут рассуждения
- Касательные треугольника
От вершины A длина каждого касательного отрезка равна p−a, где a=BC.
- Описанная равнобедренная трапеция
Для оснований a,b боковая сторона c=(a+b)/2, высота h=√(ab), радиус r=h/2.
- Распознаём общую окружность
Равные углы, видящие один отрезок с одной стороны, дают признак общей окружности.
- Пересекающиеся диагонали
Для вписанного выпуклого ABCD при O=AC∩BD: OA·OC=OB·OD.
Главная мысль
От вершины A длина каждого касательного отрезка равна p−a, где a=BC.
Описанная равнобедренная трапеция
Из равенства сумм противоположных сторон получаем a+b=2c. После опускания высот: h²=c²−[(a−b)/2]²=ab. Круг касается параллельных оснований, поэтому расстояние между ними 2r.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Основания 4 и 16 дают c=10,h=8,r=4,S=(4+16)·82=80.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для оснований a,b боковая сторона c=(a+b)/2, высота h=√(ab), радиус r=h/2.
Распознаём общую окружность
Для выпуклого ABCD равенство ∠ABD=∠ACD означает, что B и C видят AD под одним углом и находятся с одной стороны AD. Важно соблюдать расположение: один численный угол без конфигурации не достаточен.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если ∠ABD и ∠ACD по 40°, вершины A,B,C,D лежат на одной окружности при указанном расположении.
Подумай и объясни
Что кроме равенства углов важно?
Сверить рассуждение
Расположение точек относительно общей хорды. Равные углы, видящие один отрезок с одной стороны, дают признак общей окружности.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Равные углы, видящие один отрезок с одной стороны, дают признак общей окружности.
Пересекающиеся диагонали
Это теорема о пересекающихся хордах. В указанной выпуклой конфигурации работает и обратный признак: равенство произведений позволяет доказать общую окружность. Не путай пары одной прямой с соседними лучами.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
OA=3,OC=8,OB=4 дают OD=244=6.
Разберём ошибку
Неверно Какие отрезки перемножаются? — Две соседние стороны
Для вписанного выпуклого ABCD при O=AC∩BD: OA·OC=OB·OD.
Как рассуждать: Верный ответ: Две части одной диагонали.
Главная мысль
Для вписанного выпуклого ABCD при O=AC∩BD: OA·OC=OB·OD.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
От вершины A длина каждого касательного отрезка равна p−a, где a=BC.
Для оснований a,b боковая сторона c=(a+b)/2, высота h=√(ab), радиус r=h/2.
Равные углы, видящие один отрезок с одной стороны, дают признак общей окружности.
Для вписанного выпуклого ABCD при O=AC∩BD: OA·OC=OB·OD.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.