ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Описанная окружность
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Обратно, прямой угол опирается на полуокружность. Поэтому центр — середина гипотенузы, а R=c/2.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У треугольника с катетами 6 и 8 гипотенуза 10 и радиус описанной окружности 5.
Маршрут рассуждения
- Описанная окружность
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности.
- Вписанная окружность
r=(a+b−c)/2=p−c.
- Проверка площадью
r=ab/(a+b+c).
- Масштабирование
При увеличении всех сторон в k>0 раз радиусы растут в k раз, площадь — в k² раз.
Главная мысль
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности.
Вписанная окружность
Касательные из одной вершины имеют равные длины. У прямого угла расстояния до точек касания равны r; сложение катетов и вычитание гипотенузы оставляет 2r.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для 6–8–10: r=(6+8−10)/2=2. Радиусы r и R здесь различны: 2 и 5.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
r=(a+b−c)/2=p−c.
Проверка площадью
Площадь равна ab/2, полупериметр (a+b+c)/2. Их отношение даёт r. Равенство этой формулы и (a+b−c)/2 опирается на теорему Пифагора.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
6·8/(6+8+10)=4824=2. Два способа дают один результат.
Подумай и объясни
Какой второй способ вычислить r?
Сверить рассуждение
S/p. r=ab/(a+b+c).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
r=ab/(a+b+c).
Масштабирование
Можно запомнить базовую тройку и работать с подобными треугольниками. Проверяй, что известная сторона действительно гипотенуза, прежде чем делить её пополам.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У тройки 3–4–5 радиусы 1 и 2,5. У 9–12–15 они 3 и 7,5, площадь увеличивается в 9 раз.
Разберём ошибку
Неверно При увеличении сторон втрое r увеличивается… — В 9 раз
При увеличении всех сторон в k>0 раз радиусы растут в k раз, площадь — в k² раз.
Как рассуждать: Верный ответ: Втрое.
Главная мысль
При увеличении всех сторон в k>0 раз радиусы растут в k раз, площадь — в k² раз.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности.
r=(a+b−c)/2=p−c.
r=ab/(a+b+c).
При увеличении всех сторон в k>0 раз радиусы растут в k раз, площадь — в k² раз.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.