ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Теорема синусов
Стороны обозначены против соответствующих углов. Проведи диаметр описанной окружности к концу выбранной хорды: в прямоугольном треугольнике хорда равна диаметру, умноженному на синус нужного угла.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если a=6,A=30°, то 2R=6/(12)=12, R=6.
Маршрут рассуждения
- Теорема синусов
a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R.
- Два угла и сторона
Сначала найди третий угол, затем используй пару «известная сторона — известный противолежащий угол».
- Две стороны и угол
По найденному синусу могут получиться два угла: β и 180°−β.
- Радиус и площадь
R=a/(2 sin A); также S=abc/(4R).
Главная мысль
a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R.
Два угла и сторона
Из отношения вырази нужную сторону, например b=a sin B/sin A. Порядок синусов определяет результат, поэтому полезно начать с пропорции.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
A=30°,B=90°,a=5: b=5·1/(12)=10, C=60°.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Сначала найди третий угол, затем используй пару «известная сторона — известный противолежащий угол».
Две стороны и угол
Если угол дан напротив одной из двух сторон, число решений может быть 0,1,2. Каждый кандидат проверь по сумме углов. Если синус вышел больше 1, треугольник невозможен.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
A=30°,a=5,b=8: sin B=0,8. Возможны острый B и дополнительный тупой B, поскольку в обоих случаях A+B<180°.
Подумай и объясни
Значение синуса 1,2 означает…
Сверить рассуждение
Такого треугольника нет. По найденному синусу могут получиться два угла: β и 180°−β.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
По найденному синусу могут получиться два угла: β и 180°−β.
Радиус и площадь
Из формулы площади S=bc sin A/2 замени sin A на a/(2R). В результате площадь выражается через три стороны и радиус описанной окружности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Стороны 3,4,5 и R=2,5 дают S=6010=6.
Разберём ошибку
Неверно Какой радиус входит в S=abc/(4R)? — Вписанной окружности
R=a/(2 sin A); также S=abc/(4R).
Как рассуждать: Верный ответ: Описанной окружности.
Главная мысль
R=a/(2 sin A); также S=abc/(4R).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R.
Сначала найди третий угол, затем используй пару «известная сторона — известный противолежащий угол».
По найденному синусу могут получиться два угла: β и 180°−β.
R=a/(2 sin A); также S=abc/(4R).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.