ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Теорема косинусов
Если A=90°, косинус ноль и получаем Пифагора. При остром A вычитаем положительное число, при тупом — отрицательное, поэтому противоположная сторона становится длиннее.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
b=3,c=5,A=60°: a²=9+25−15=19, a=√19.
Маршрут рассуждения
- Теорема косинусов
a²=b²+c²−2bc cos A, где A — угол между b и c.
- Угол по трём сторонам
cos A=(b²+c²−a²)/(2bc).
- Диагонали параллелограмма
d₁²+d₂²=2(a²+b²).
- Длина медианы
mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4.
Главная мысль
a²=b²+c²−2bc cos A, где A — угол между b и c.
Угол по трём сторонам
Сначала проверь неравенства треугольника. Значение косинуса должно лежать в [−1;1]. Для вида угла часто достаточно знака числителя, без вычисления самого угла.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Стороны 3,4,6: для угла напротив 6 числитель 9+16−36=−11, значит, угол тупой.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
cos A=(b²+c²−a²)/(2bc).
Диагонали параллелограмма
Диагонали напротив дополнительных углов. Их косинусы противоположны, поэтому при сложении формул поправки уничтожаются. Формула работает и для наклонного параллелограмма.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
a=3,b=4: сумма квадратов диагоналей 50. Если одна диагональ 5, другая тоже 5 — это прямоугольник.
Подумай и объясни
Сумма квадратов диагоналей равна…
Сверить рассуждение
2(a²+b²). d₁²+d₂²=2(a²+b²).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
d₁²+d₂²=2(a²+b²).
Длина медианы
Медиана идёт к середине стороны a. Теорему косинусов применяют к двум половинам треугольника; после сложения исчезает косинус смежных углов. В ответе нужна длина: возьми положительный корень.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
a=6,b=c=5: mₐ²=(50+50−36)/4=16, mₐ=4.
Разберём ошибку
Неверно Медиана делит противоположную сторону… — В отношении соседних сторон
mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4.
Как рассуждать: Верный ответ: Пополам.
Главная мысль
mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
a²=b²+c²−2bc cos A, где A — угол между b и c.
cos A=(b²+c²−a²)/(2bc).
d₁²+d₂²=2(a²+b²).
mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.