ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Проверка данных
Достаточно сравнить наибольшую сторону с суммой двух остальных. При равенстве получается вырожденная фигура, а не треугольник положительной площади.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
3,4,8 не подходят: 3+4<8. Подстановка таких чисел в формулу площади не исправит невозможное условие.
Маршрут рассуждения
- Проверка данных
Положительные стороны образуют треугольник, если сумма любых двух больше третьей.
- Формула Герона
S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)], p=(a+b+c)/2.
- Откуда возникает формула
Подставь cos A=(b²+c²−a²)/(2bc) в S²=b²c²(1−cos²A)/4.
- Высоты и радиусы
После нахождения S: hₐ=2S/a, r=S/p, R=abc/(4S).
Главная мысль
Положительные стороны образуют треугольник, если сумма любых двух больше третьей.
Формула Герона
Сначала отдельно найди полупериметр и три разности. Произведение под корнем имеет размерность четвёртой степени длины; квадратный корень даёт квадратные единицы площади.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для 13,14,15: p=21; разности 8,7,6; S=√(21·8·7·6)=84.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)], p=(a+b+c)/2.
Откуда возникает формула
Разность квадратов в числителе раскладывается на (a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c). Каждый множитель равен удвоенному p или одной из разностей p−a,p−b,p−c.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Переход 16S²=4b²c²−(b²+c²−a²)² связывает формулу Герона с косинусами и формулой площади по углу.
Подумай и объясни
Какая связь помогает убрать синус из S²?
Сверить рассуждение
sin²A=1−cos²A. Подставь cos A=(b²+c²−a²)/(2bc) в S²=b²c²(1−cos²A)/4.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Подставь cos A=(b²+c²−a²)/(2bc) в S²=b²c²(1−cos²A)/4.
Высоты и радиусы
Одна найденная площадь открывает сразу несколько величин. Выбирай удобный способ: для прямоугольного треугольника часто быстрее ab/2, чем Герон; обе формулы должны совпасть.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У 13–14–15 площадь 84, высота к 14 равна 12, r=4, R=13·14·15/(4·84)=658.
Разберём ошибку
Неверно Как найти высоту к стороне a? — S/a
После нахождения S: hₐ=2S/a, r=S/p, R=abc/(4S).
Как рассуждать: Верный ответ: 2S/a.
Главная мысль
После нахождения S: hₐ=2S/a, r=S/p, R=abc/(4S).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Положительные стороны образуют треугольник, если сумма любых двух больше третьей.
S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)], p=(a+b+c)/2.
Подставь cos A=(b²+c²−a²)/(2bc) в S²=b²c²(1−cos²A)/4.
После нахождения S: hₐ=2S/a, r=S/p, R=abc/(4S).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.