ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Зачем достраивать чертёж
В прямоугольном треугольнике с острым углом 15° отрази вершину прямого угла через гипотенузу. Отрезок между отражёнными вершинами равен двум высотам, а угол у острой вершины становится 30°.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
По теореме синусов из такого построения получается c=4h для треугольника с углами 15°,75°,90°. При h=2 гипотенуза 8.
Маршрут рассуждения
- Зачем достраивать чертёж
Отражение, высота или окружность могут создать известный угол и применимую теорему.
- Теорема Стюарта
Если BD=m, DC=n, AB=c, AC=b, AD=d, то b²m+c²n=(m+n)(d²+mn).
- Медиана и биссектриса
Для медианы m=n; для биссектрисы m/n=c/b и d²=bc−mn.
- Площади частей как подсказка
У треугольников с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Главная мысль
Отражение, высота или окружность могут создать известный угол и применимую теорему.
Теорема Стюарта
Точка D лежит внутри BC. Применим косинусы к ABD и ACD. Углы при D смежные; умножение равенств на противоположные части основания и сложение убирает косинус.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
b=c=5,m=2,n=4: d²=(25·2+25·4)/6−8=17, d=√17.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если BD=m, DC=n, AB=c, AC=b, AD=d, то b²m+c²n=(m+n)(d²+mn).
Медиана и биссектриса
Медиана и биссектриса задают разные отношения частей стороны. Подставляя нужную связь в Стюарта, получаем более короткие формулы. Совпадают эти отрезки только в особых конфигурациях.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
AB=6,AC=8,BC=7. Для биссектрисы BD=3,DC=4, значит, AD²=48−12=36 и AD=6.
Подумай и объясни
Биссектриса делит BC в отношении…
Сверить рассуждение
AB:AC. Для медианы m=n; для биссектрисы m/n=c/b и d²=bc−mn.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для медианы m=n; для биссектрисы m/n=c/b и d²=bc−mn.
Площади частей как подсказка
Если соединить центр вписанной окружности с вершинами, у трёх частей общая высота r. Их площади дают отношение сторон. Затем можно применить Герона и S=pr, чтобы восстановить масштаб.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если площади частей напротив сторон равны 7,15,20, то стороны пропорциональны 7:15:20. При полном вычислении получаются стороны 7,15,20 и r=2: их площадь по Герону 42.
ПОЧЕМУ ТАК
Восстановим масштаб, а не только отношение
Пусть стороны равны 7t,15t,20t, t>0. Тогда p=21t, а по Герону S=√(21·14·6·1)·t²=42t². По условию площадь равна 7+15+20=42, поэтому t²=1, t=1. Получаем стороны 7,15,20 и r=S/p=4221=2.
Без последнего шага отношение 7:15:20 ещё не даёт сами длины: подобные треугольники могут иметь любое положительное значение t.
Разберём ошибку
Неверно Что дают площади частей с общей высотой? — Всегда равенство оснований
У треугольников с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Как рассуждать: Верный ответ: Отношение оснований.
Главная мысль
У треугольников с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Отражение, высота или окружность могут создать известный угол и применимую теорему.
Если BD=m, DC=n, AB=c, AC=b, AD=d, то b²m+c²n=(m+n)(d²+mn).
Для медианы m=n; для биссектрисы m/n=c/b и d²=bc−mn.
У треугольников с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.