ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Опорный треугольник
OA=R — радиус к вершине, OM=r — радиус к стороне, AM=a/2. Угол AOM равен половине центрального угла, то есть 180°/n. Все формулы получаются из этого треугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для квадрата n=4, угол AOM=45°. Радиус r — катет, R — гипотенуза.
Маршрут рассуждения
- Опорный треугольник
Соедини центр O с вершиной A и серединой M стороны; OM⊥AM.
- Радиусы через сторону
R=a/[2 sin(180°/n)], r=a/[2 tg(180°/n)].
- Связь радиусов
r=R cos(180°/n); R²=r²+a²/4.
- Площадь правильного многоугольника
S=nar/2=pr.
Главная мысль
Соедини центр O с вершиной A и серединой M стороны; OM⊥AM.
Радиусы через сторону
В опорном треугольнике a/2 лежит напротив угла при O. Отношения синуса и тангенса дают формулы без заучивания. Не подставляй полный центральный угол 360°/n.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для n=6 угол 30°, R=a, r=a√32.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
R=a/[2 sin(180°/n)], r=a/[2 tg(180°/n)].
Связь радиусов
Косинус связывает прилежащий катет r с гипотенузой R. Формула Пифагора позволяет найти неизвестное без тригонометрии, если известны два из R,r,a.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У квадрата R²=32, a=8: r=√(32−16)=4. Это согласуется с формулой r=a/2.
Подумай и объясни
Какой радиус больше?
Сверить рассуждение
R. r=R cos(180°/n); R²=r²+a²/4.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
r=R cos(180°/n); R²=r²+a²/4.
Площадь правильного многоугольника
Каждая из n центральных частей — треугольник основания a и высоты r. Сложение их площадей даёт формулу. Здесь p=na/2, половина периметра.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Квадрат стороны 8: r=4, S=4·8·42=64.
Разберём ошибку
Неверно Высота центрального треугольника к стороне a равна… — R
S=nar/2=pr.
Как рассуждать: Верный ответ: r.
Главная мысль
S=nar/2=pr.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Соедини центр O с вершиной A и серединой M стороны; OM⊥AM.
R=a/[2 sin(180°/n)], r=a/[2 tg(180°/n)].
r=R cos(180°/n); R²=r²+a²/4.
S=nar/2=pr.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.