ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Разность полукругов
Полукруг диаметра d имеет площадь πd²/8. Подстановка d=u+v и вычитание u²,v² оставляет 2uv. Если из M поднят перпендикуляр MN к большой полуокружности, то MN²=uv.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При MN=10 разность площадей равна π·1004=25π. Длины AM и MB по отдельности не нужны.
Маршрут рассуждения
- Разность полукругов
На диаметре AB=AM+MB: площадь большого полукруга минус два малых равна π·AM·MB/4.
- Луночки Гиппократа
Сумма площадей двух классических луночек на катетах равна площади прямоугольного треугольника.
- Золотое сечение
При делении целого на большую x и меньшую y части: (x+y)/x=x/y=φ.
- Правильный пятиугольник
Отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно φ.
Главная мысль
На диаметре AB=AM+MB: площадь большого полукруга минус два малых равна π·AM·MB/4.
Луночки Гиппократа
Полукруги на катетах имеют суммарную площадь полукруга на гипотенузе, потому что площади пропорциональны квадратам диаметров, а a²+b²=c². Вычитание одинаковых круговых сегментов оставляет луночки с одной стороны и треугольник с другой.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 сумма площадей луночек равна 30. Это точный ответ без π.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Сумма площадей двух классических луночек на катетах равна площади прямоугольного треугольника.
Золотое сечение
Отсюда φ²=φ+1 и φ=(1+√5)/2. Если целое равно 1, большая часть (√5−1)/2≈0,618. Это математическое отношение; оно не доказывает универсальных утверждений о красоте.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для целого 10 большая часть 5(√5−1), меньшая 5(3−√5). Их сумма 10.
Подумай и объясни
Как связаны φ² и φ?
Сверить рассуждение
φ²=φ+1. При делении целого на большую x и меньшую y части: (x+y)/x=x/y=φ.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При делении целого на большую x и меньшую y части: (x+y)/x=x/y=φ.
Правильный пятиугольник
Диагонали образуют подобные равнобедренные треугольники с углами 36° и 72°. Это даёт то же уравнение золотого сечения. Для построения на окружности проведи перпендикулярные радиусы OA,OB, возьми середину M радиуса OA. Окружность центра M радиуса MB пересечёт луч, противоположный OA, в N; хорда длины BN — сторона пятиугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При R=1: M=(12;0), B=(0;1), N=((1−√5)/2;0). Тогда BN=√[(5−√5)/2]. Откладывая эту хорду по окружности, получаем пять равных сторон.
Разберём ошибку
Неверно Отношение диагонали пятиугольника к стороне равно… — 2
Отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно φ.
Как рассуждать: Верный ответ: φ.
Главная мысль
Отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно φ.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
На диаметре AB=AM+MB: площадь большого полукруга минус два малых равна π·AM·MB/4.
Сумма площадей двух классических луночек на катетах равна площади прямоугольного треугольника.
При делении целого на большую x и меньшую y части: (x+y)/x=x/y=φ.
Отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно φ.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.