ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Правило треугольника
Перенеси второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого. Сумма идёт от начала первого до конца второго. Длина суммы обычно не равна сумме длин: направления тоже участвуют.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
3 клетки вправо, затем 4 вверх дают вектор длины 5, а не 7. Число 7 — длина пройденного маршрута.
Маршрут рассуждения
- Правило треугольника
AB+BC=AC.
- Параллелограмм и свойства
Для векторов с общим началом сумма — диагональ построенного параллелограмма.
- Вычитание
a−b=a+(−b).
- Умножение на число
|ka|=|k|·|a|; при k<0 направление меняется.
Главная мысль
AB+BC=AC.
Параллелограмм и свойства
Перемена порядка слагаемых не меняет результат: a+b=b+a. Группировка тоже не важна. Для замкнутого маршрута сумма перемещений равна нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
AB+BC+CA=0, поскольку путешествие возвращает в A.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для векторов с общим началом сумма — диагональ построенного параллелограмма.
Вычитание
Если a и b отложены из одного начала O с концами A и B, разность a−b направлена от B к A. Проверь направление, мысленно добавив b к результату.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
OA−OB=BA: OA=OB+BA. Обратная стрелка дала бы b−a.
Подумай и объясни
Куда идёт OA−OB?
Сверить рассуждение
Из B в A. a−b=a+(−b).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
a−b=a+(−b).
Умножение на число
Положительный коэффициент сохраняет направление, отрицательный разворачивает, ноль даёт нулевой вектор. Распределительный закон k(a+b)=ka+kb позволяет преобразовывать векторные равенства.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если |a|=3, то |−2a|=6, а направление противоположно a.
ПОЧЕМУ ТАК
Вектор медианы
Пусть M — середина BC. По правилу треугольника AM=AB+BM и AM=AC+CM. Здесь все двухбуквенные обозначения в этих равенствах — векторы. Складываем: 2AM=AB+AC+(BM+CM).
Так как BM и CM противоположны, их сумма нулевая. Поэтому AM=(AB+AC)/2. Например, если AB=4u и AC=6v, то AM=2u+3v. Это формула вектора, а не полусуммы длин сторон.
Разберём ошибку
Неверно Что делает отрицательный множитель? — Делает длину отрицательной
|ka|=|k|·|a|; при k<0 направление меняется.
Как рассуждать: Верный ответ: Разворачивает вектор и меняет длину по модулю.
Главная мысль
|ka|=|k|·|a|; при k<0 направление меняется.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
AB+BC=AC.
Для векторов с общим началом сумма — диагональ построенного параллелограмма.
a−b=a+(−b).
|ka|=|k|·|a|; при k<0 направление меняется.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.