ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Координаты перемещения
Каждая координата показывает изменение соответствующей координаты точки. Если движение влево или вниз, компонент отрицателен. Параллельный перенос обоих концов не меняет разности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
A(−2;1), B(3;−2): AB=(5;−3).
Маршрут рассуждения
- Координаты перемещения
AB=(xB−xA; yB−yA).
- Действия по координатам
(a₁;a₂)+(b₁;b₂)=(a₁+b₁;a₂+b₂); k(a₁;a₂)=(ka₁;ka₂).
- Длина и середина
|(x;y)|=√(x²+y²); середина AB имеет средние арифметические координат концов.
- Коллинеарность
Для a=(x₁;y₁), b=(x₂;y₂) коллинеарность равносильна x₁y₂−y₁x₂=0.
Главная мысль
AB=(xB−xA; yB−yA).
Действия по координатам
Горизонтальные и вертикальные перемещения складываются независимо. Вычитание также покоординатное. Равенство векторов означает равенство обеих соответствующих координат.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(2;−3)+(−5;4)=(−3;1); −2(2;−3)=(−4;6).
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
(a₁;a₂)+(b₁;b₂)=(a₁+b₁;a₂+b₂); k(a₁;a₂)=(ka₁;ka₂).
Длина и середина
Формула длины — Пифагор для перемещений. Для середины складывают координаты точек и делят на 2: это формула точки, а не вектора между концами.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
У вектора (−3;4) длина 5. Середина A(−2;1),B(4;5) — M(1;3).
Подумай и объясни
Длина (−3;4)?
Сверить рассуждение
5. |(x;y)|=√(x²+y²); середина AB имеет средние арифметические координат концов.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
|(x;y)|=√(x²+y²); середина AB имеет средние арифметические координат концов.
Коллинеарность
Пропорциональность координат можно проверять равенством перекрёстных произведений, не деля на возможный ноль. У ненулевых векторов знак коэффициента показывает совпадение или противоположность направлений.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(2;3) и (−4;−6) коллинеарны: второй равен −2 первому. Проверка: 2·(−6)−3·(−4)=0.
Разберём ошибку
Неверно Почему перекрёстные произведения удобнее деления? — Они всегда положительны
Для a=(x₁;y₁), b=(x₂;y₂) коллинеарность равносильна x₁y₂−y₁x₂=0.
Как рассуждать: Верный ответ: Можно работать с нулевыми координатами.
Главная мысль
Для a=(x₁;y₁), b=(x₂;y₂) коллинеарность равносильна x₁y₂−y₁x₂=0.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
AB=(xB−xA; yB−yA).
(a₁;a₂)+(b₁;b₂)=(a₁+b₁;a₂+b₂); k(a₁;a₂)=(ka₁;ka₂).
|(x;y)|=√(x²+y²); середина AB имеет средние арифметические координат концов.
Для a=(x₁;y₁), b=(x₂;y₂) коллинеарность равносильна x₁y₂−y₁x₂=0.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.