ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Определение
Перенеси начала в одну точку и возьми угол от 0° до 180°. Скалярное произведение — число со знаком, а не новый вектор. При остром угле оно положительно, при тупом отрицательно.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Длины 3 и 4, угол 60°: a·b=3·4·12=6.
Маршрут рассуждения
- Определение
a·b=|a||b| cos α для ненулевых векторов; с нулевым вектором результат 0.
- Вычисление по координатам
(x₁;y₁)·(x₂;y₂)=x₁x₂+y₁y₂.
- Перпендикулярность и угол
Для ненулевых векторов a⊥b тогда и только тогда, когда a·b=0.
- Раскрытие скобок
(a+b)²=|a|²+2a·b+|b|².
Главная мысль
a·b=|a||b| cos α для ненулевых векторов; с нулевым вектором результат 0.
Вычисление по координатам
Перемножь соответствующие координаты и сложи. Это отличается от условия коллинеарности, где сравниваются перекрёстные произведения. Квадрат вектора a·a равен |a|².
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(2;−3)·(4;1)=8−3=5. Для (2;−3) скалярный квадрат равен 4+9=13.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
(x₁;y₁)·(x₂;y₂)=x₁x₂+y₁y₂.
Перпендикулярность и угол
Для угла раздели скалярное произведение на произведение длин. Нулевой вектор даёт нулевое произведение с любым, но угол с ним не определяется, поэтому условие ненулевых векторов существенно.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(3;4)·(4;−3)=12−12=0: векторы перпендикулярны.
Подумай и объясни
Можно ли по формуле найти угол с нулевым вектором?
Сверить рассуждение
Нет. Для ненулевых векторов a⊥b тогда и только тогда, когда a·b=0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для ненулевых векторов a⊥b тогда и только тогда, когда a·b=0.
Раскрытие скобок
Скалярное произведение распределяется по сумме и допускает вынесение числового множителя. Разность (a+b)·(a−b)=|a|²−|b|² часто помогает доказывать перпендикулярность диагоналей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если |a|=|b|, то (a+b)·(a−b)=0. В ромбе диагонали соответствуют этим сумме и разности, поэтому перпендикулярны.
Разберём ошибку
Неверно Если |a|=|b|, чему равно (a+b)·(a−b)? — 2|a|²
(a+b)²=|a|²+2a·b+|b|².
Как рассуждать: Верный ответ: 0.
Главная мысль
(a+b)²=|a|²+2a·b+|b|².
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
a·b=|a||b| cos α для ненулевых векторов; с нулевым вектором результат 0.
(x₁;y₁)·(x₂;y₂)=x₁x₂+y₁y₂.
Для ненулевых векторов a⊥b тогда и только тогда, когда a·b=0.
(a+b)²=|a|²+2a·b+|b|².
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.