ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Основное тождество
Раздели равенство Пифагора a²+b²=c² на c². Получатся квадраты отношений a/c и b/c. Обозначение sin²α означает (sin α)², а не sin(α²).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если sin α=35 и угол острый, то cos²α=1−925=1625, cos α=45.
Маршрут рассуждения
- Основное тождество
sin²α+cos²α=1.
- Тангенс и котангенс
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
- Восстанавливаем значения
Для острого угла выбираем положительный квадратный корень.
- Преобразуем выражения
1+tg²α=1/cos²α, 1+ctg²α=1/sin²α при допустимых углах.
Главная мысль
sin²α+cos²α=1.
Тангенс и котангенс
Разделив a/c на b/c, получаем a/b. Эти формулы действуют там, где соответствующие знаменатели ненулевые. У острого угла все четыре отношения положительны.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При sin α=35 и cos α=45 получаем tg α=34 и ctg α=43.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
Восстанавливаем значения
Из косинуса найди синус основным тождеством, затем вычисли тангенс и котангенс. В более широкой области углов знак требует отдельного анализа — одна величина квадрата его не определяет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
cos α=1213: sin α=√(1−144169)=513; tg α=512.
Подумай и объясни
Почему здесь выбирают положительный корень?
Сверить рассуждение
Угол острый. Для острого угла выбираем положительный квадратный корень.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для острого угла выбираем положительный квадратный корень.
Преобразуем выражения
Раздели основное тождество на cos²α или sin²α. Упрощай выражение символически до подстановки — так меньше вычислений и меньше потерь точности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(1−cos²α)/sin²α=sin²α/sin²α=1, если sin α≠0.
Разберём ошибку
Неверно Как заменить 1−cos²α? — sin α
1+tg²α=1/cos²α, 1+ctg²α=1/sin²α при допустимых углах.
Как рассуждать: Верный ответ: sin²α.
Главная мысль
1+tg²α=1/cos²α, 1+ctg²α=1/sin²α при допустимых углах.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
sin²α+cos²α=1.
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
Для острого угла выбираем положительный квадратный корень.
1+tg²α=1/cos²α, 1+ctg²α=1/sin²α при допустимых углах.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.