ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Координатное определение
Угол отсчитывают от положительного направления Ox против часовой стрелки. Длина радиуса 1, поэтому отношения сторон переходят непосредственно в координаты. Для тупого угла точка слева от Oy и выше Ox.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При α=120° точка имеет x=−12,y=√32. Косинус отрицателен, синус положителен.
Маршрут рассуждения
- Координатное определение
На единичной полуокружности точка угла α имеет координаты (cos α;sin α).
- Углы α и 180°−α
sin(180°−α)=sin α, cos(180°−α)=−cos α.
- Граничные углы
sin 0°=0, cos 0°=1; sin 90°=1, cos 90°=0; sin 180°=0, cos 180°=−1.
- Выбираем знак корня
Основное тождество сохраняется; знак величины выбирается по положению угла.
Главная мысль
На единичной полуокружности точка угла α имеет координаты (cos α;sin α).
Углы α и 180°−α
Соответствующие точки симметричны относительно Oy: высота одинакова, горизонтальные координаты противоположны. Поэтому tg и ctg также меняют знак.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
sin 150°=sin 30°=12; cos 150°=−√32; tg 135°=−1.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
sin(180°−α)=sin α, cos(180°−α)=−cos α.
Граничные углы
У тангенса знаменатель cos α: при 90° он не определён. У котангенса знаменатель sin α: при 0° и 180° он не определён. Нулевой результат и отсутствие значения — разные вещи.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
tg 0°=0, но ctg 0° не существует. ctg 90°=0, но tg 90° не существует.
Подумай и объясни
tg 90°…
Сверить рассуждение
Не определён. sin 0°=0, cos 0°=1; sin 90°=1, cos 90°=0; sin 180°=0, cos 180°=−1.
Значения на границах
| α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Не определён |
| 90° | 1 | 0 | Не определён | 0 |
| 180° | 0 | −1 | 0 | Не определён |
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
sin 0°=0, cos 0°=1; sin 90°=1, cos 90°=0; sin 180°=0, cos 180°=−1.
Выбираем знак корня
При известном синусе острый и тупой углы могут дать одинаковое значение. Косинусы этих углов противоположны. Учитывай промежуток, указанный в условии.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если sin α=35 и 90°<α<180°, то cos α=−45 и tg α=−34.
Разберём ошибку
Неверно Синус определяет единственный угол в (0°;180°)? — Всегда
Основное тождество сохраняется; знак величины выбирается по положению угла.
Как рассуждать: Верный ответ: Не всегда.
Главная мысль
Основное тождество сохраняется; знак величины выбирается по положению угла.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
На единичной полуокружности точка угла α имеет координаты (cos α;sin α).
sin(180°−α)=sin α, cos(180°−α)=−cos α.
sin 0°=0, cos 0°=1; sin 90°=1, cos 90°=0; sin 180°=0, cos 180°=−1.
Основное тождество сохраняется; знак величины выбирается по положению угла.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.