ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Общий угол
Формула S=ab sin γ/2 позволяет сократить одинаковый синус. Если B₁ лежит на AB, C₁ на AC, то S(AB₁C₁)/S(ABC)=AB₁·AC₁/(AB·AC). Подобие маленького и большого треугольников не требуется.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
AB₁/AB=12, AC₁/AC=23. Доля площади равна 13, даже если коэффициенты по сторонам различны.
Маршрут рассуждения
- Общий угол
При равных углах отношение площадей равно отношению произведений прилегающих сторон.
- Теорема Менелая
Для прямой, пересекающей AB, BC и продолжение CA в M,N,P: (AM/MB)(BN/NC)(CP/PA)=1.
- Неравенство средних
(a+b)/2 ≥ √(ab) при a,b≥0; равенство при a=b.
- Выбор инструмента
Ищи общий угол для площадей, секущую для Менелая, сумму и произведение для средних.
Главная мысль
При равных углах отношение площадей равно отношению произведений прилегающих сторон.
Теорема Менелая
Здесь рассматриваются положительные длины: две точки на сторонах, третья на продолжении. Обходи контур A→M→B→N→C→P→A, чередуя вершину и точку пересечения. Это помогает не перевернуть одно отношение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если AM/MB=2 и BN/NC=3, то CP/PA=16. Все три отношения перемножаются, а не складываются.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для прямой, пересекающей AB, BC и продолжение CA в M,N,P: (AM/MB)(BN/NC)(CP/PA)=1.
Неравенство средних
Разность равна (√a−√b)²/2, а квадрат неотрицателен. На полуокружности высота √(ab) не больше радиуса (a+b)/2 — это геометрическое объяснение той же идеи.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для a=4,b=9: среднее арифметическое 6,5, геометрическое 6. Равенства нет, поскольку числа различны.
Подумай и объясни
Когда средние равны?
Сверить рассуждение
При a=b. (a+b)/2 ≥ √(ab) при a,b≥0; равенство при a=b.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
(a+b)/2 ≥ √(ab) при a,b≥0; равенство при a=b.
Выбор инструмента
Полезно сначала перерисовать нужную часть фигуры. Если стороны прямоугольника имеют фиксированную сумму, неравенство средних ограничивает их произведение и показывает, где площадь наибольшая.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При a+b=10: ab≤25, равенство при a=b=5. Среди прямоугольников этого периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
Разберём ошибку
Неверно При a+b=10 максимум ab равен… — 20
Ищи общий угол для площадей, секущую для Менелая, сумму и произведение для средних.
Как рассуждать: Верный ответ: 25.
Главная мысль
Ищи общий угол для площадей, секущую для Менелая, сумму и произведение для средних.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При равных углах отношение площадей равно отношению произведений прилегающих сторон.
Для прямой, пересекающей AB, BC и продолжение CA в M,N,P: (AM/MB)(BN/NC)(CP/PA)=1.
(a+b)/2 ≥ √(ab) при a,b≥0; равенство при a=b.
Ищи общий угол для площадей, секущую для Менелая, сумму и произведение для средних.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.