ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Описанная окружность
Точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка. Пересечение двух таких прямых равноудалено от всех трёх вершин, поэтому задаёт центр единственной окружности через них.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
В остроугольном треугольнике центр внутри, в тупоугольном снаружи, в прямоугольном на середине гипотенузы.
Маршрут рассуждения
- Описанная окружность
Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.
- Вписанная окружность
Центр вписанной окружности — пересечение внутренних биссектрис.
- Площадь через радиус
S=pr, где p=(a+b+c)/2.
- Не путай центры
Центры вписанной и описанной окружностей вообще не совпадают.
Главная мысль
Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.
Вписанная окружность
Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, расстояния измеряются перпендикулярами. Поэтому центр одинаково удалён от всех трёх сторон и всегда находится внутри треугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Проведи из центра перпендикуляр к любой стороне: его длина r, а основание — точка касания.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Центр вписанной окружности — пересечение внутренних биссектрис.
Площадь через радиус
Соедини центр вписанной окружности с вершинами. Получатся три треугольника высоты r и оснований a,b,c. Их площади дают ar/2+br/2+cr/2=pr.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Стороны 13,14,15, площадь 84: p=21, r=8421=4.
Подумай и объясни
Что обозначает p?
Сверить рассуждение
Полупериметр. S=pr, где p=(a+b+c)/2.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
S=pr, где p=(a+b+c)/2.
Не путай центры
Равноудалённость от вершин относится к R, от сторон — к r. Из S=pr получаем r=S/p. В равностороннем треугольнике центры совпадают из-за общей симметрии.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Если p=12 и r=2, то S=24. Для поиска R этих данных без дополнительных сведений обычно недостаточно.
Разберём ошибку
Неверно Что всегда внутри треугольника? — Центр описанной окружности
Центры вписанной и описанной окружностей вообще не совпадают.
Как рассуждать: Верный ответ: Центр вписанной окружности.
Главная мысль
Центры вписанной и описанной окружностей вообще не совпадают.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.
Центр вписанной окружности — пересечение внутренних биссектрис.
S=pr, где p=(a+b+c)/2.
Центры вписанной и описанной окружностей вообще не совпадают.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.