Обмен кинетической и потенциальной энергией
Двигай фазу и сравни положение груза с долями двух энергий.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
m = 1 кг, потерь нет. Wп = kx²/2, Wк = W − Wп; нуль потенциальной энергии в равновесии.
Система: считать энергию груза и пружины
Для горизонтального пружинного маятника без трения потенциальная энергия пружины Wп = kx²/2, кинетическая энергия груза Wк = mv²/2. Потенциальную энергию отсчитывают от ненапряжённой пружины. Полная механическая энергия W = Wк + Wп сохраняется.
В вертикальном маятнике нужно учитывать также тяготение. Если координату отсчитывают от равновесия, изменяющаяся часть суммарной потенциальной энергии тоже имеет вид kx²/2, но её нулевой уровень выбран иначе. Нельзя произвольно отбросить один вид энергии и требовать сохранения оставшейся суммы.
Движение груза
Кинетическая энергия
Деформация и взаимодействия
Потенциальная энергия
Замкнутый идеальный обмен
Сумма постоянна
Закон сохранения применяют к правильно выбранной системе и всем существенным видам энергии.
Почему кинетическая энергия отдельно не сохраняется?
Сила упругости совершает работу и передаёт энергию между движением и деформацией.
Край и равновесие: два предельных состояния
В крайней точке x = ±A скорость равна нулю: вся механическая энергия потенциальная, W = kA²/2. В равновесии x = 0 потенциальная часть минимальна, а кинетическая максимальна. Поэтому mvmax²/2 = kA²/2.
При движении к равновесию Wп уменьшается, Wк возрастает; при удалении происходит обратное. Квадраты x и v дают неотрицательные энергии независимо от направления движения. Тело с x = +A и x = −A имеет одинаковую потенциальную энергию.
| Положение | Wп | Wк |
|---|---|---|
| x = ±A | W | 0 |
| x = 0 | 0 в выбранном отсчёте | W |
| Промежуточное | kx²/2 | W − kx²/2 |
Нулевая скорость в точке разворота означает переход энергии в потенциальную форму, а не исчезновение энергии.
При x = A/2 половина энергии потенциальная?
Нет. Wп/W = x²/A² = 1/4; кинетическая доля равна 3/4.
Пружина шариковой ручки
Пружина создаёт возвращающую силу при деформации. Линейная зависимость силы от смещения является приближением для определённого диапазона.
Santeri Viinamäki · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Маятник Ньютона
Маятник Ньютона наглядно показывает передачу импульса и энергии. Удары шаров отличаются от непрерывного гармонического обмена энергиями одного маятника.
Sheila Sund from Salem, United States · CC BY 2.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Квадраты: удвоение амплитуды даёт учетверение энергии
Полная энергия W = kA²/2 = mω²A²/2. При том же k увеличение амплитуды вдвое увеличивает W вчетверо. Для равенства Wк и Wп нужно x² = A²/2, то есть модуль x = A/√2.
Если x = A cos ωt, то Wп = W cos²ωt, Wк = W sin²ωt. Энергии повторяют значения через T/2, хотя координата вместе с направлением движения повторяется через T. Это следствие квадратов, а не удвоение частоты самого движения.
Полная энергия
W = kA²/2
Потенциальная доля
Wп/W = (x/A)²
Равные доли
Модуль x = A/√2
Энергия зависит от квадрата амплитуды и не имеет знака направления.
Почему энергетический график повторяется дважды за период движения?
Положительные и отрицательные координаты одинакового модуля дают одну и ту же потенциальную энергию.
Расчёт и потери: отличать идеальный обмен от затухания
При k = 100 Н/м и A = 0,10 м полная энергия равна 0,50 Дж. В точке x = 0,05 м Wп = 0,125 Дж, Wк = 0,375 Дж. Если m = 1 кг, модуль скорости равен √(2Wк/m) ≈ 0,866 м/с.
В интерактиве столбики энергий меняются при постоянной общей сумме. Для реального трения механическая энергия уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел и среды. Закон сохранения полной энергии при этом не нарушается.
Найти полный запас
По амплитуде kA²/2
Вычислить Wп
По текущей координате kx²/2
Найти Wк и v
Wк = W − Wп, модуль v = √(2Wк/m)
При затухании уменьшается механическая энергия, но энергия всей системы с окружающей средой сохраняется.
Можно ли определить направление скорости только по Wк?
Нет. Энергия даёт модуль скорости; знак нужно установить по фазе или предыдущему движению.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 3. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 03. Превращения энергии при гармонических колебаниях.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.