Резонанс и затухание
Сравни частоту воздействия с собственной частотой. Измени затухание и наблюдай ширину отклика.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Установившиеся вынужденные колебания линейного осциллятора: A/(F₀/k) = 1/√((1−r²)²+(2ζr)²). Переходный процесс не показан.
Свободные колебания: энергия дана вначале
Свободными называют колебания, возникающие после начального воздействия за счёт внутренних взаимодействий системы. Идеальный маятник без трения колеблется с собственной частотой. Реальный теряет механическую энергию и постепенно уменьшает амплитуду.
Затухание связано с сопротивлением среды, внутренним трением и передачей энергии окружающим телам. При слабом вязком сопротивлении огибающая амплитуды убывает экспоненциально. Это специальная модель: не всякое реальное трение даёт точно такой закон.
Начальное отклонение
Создаёт запас энергии
Собственная динамика
Задаёт характерный период
Потери
Уменьшают амплитуду
Свободные колебания не требуют периодического внешнего воздействия после запуска.
Почему свободное колебание не обязательно незатухающее?
Свободность описывает способ возбуждения, а затухание — наличие потерь. Это разные признаки.
Вынужденные: система следует внешней частоте
При действии периодической внешней силы возникают вынужденные колебания. В рассматриваемой линейной системе при гармонической силе после переходного процесса установившееся движение имеет частоту возбуждения. Амплитуда зависит от частоты силы, её величины и сопротивления.
Внешняя сила может передавать энергию или отбирать её на отдельных участках. Для устойчивого режима средний подвод энергии за период компенсирует потери. Простое наличие периодических толчков ещё не означает максимальной амплитуды.
| Режим | Что задаёт частоту | Источник энергии |
|---|---|---|
| Свободный идеальный | Параметры системы | Начальный запас |
| Свободный затухающий | Система с потерями | Убывающий запас |
| Вынужденный установившийся | Внешнее возбуждение | Периодический подвод |
В установившемся вынужденном режиме частота движения равна частоте внешней силы.
Почему после включения воздействия движение сначала сложнее синусоиды?
К установившейся части добавляется переходный процесс, зависящий от начальных условий и затухания.
Камертон на 440 Гц
Зубцы камертона колеблются и возбуждают звуковые волны. Частота основного колебания определяет высоту тона.
Édouard Hue (User:EdouardHue) · CC BY-SA 3.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Синусоида на экране осциллографа
Осциллограф показывает зависимость напряжения от времени. Длина волны в пространстве и период на временном графике — разные характеристики.
Pittigrilli · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Резонанс: максимум амплитуды в подходящем диапазоне
Резонансом называют резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний вблизи собственной частоты при достаточно малых потерях. Для модели m x″ + b x′ + kx = F₀ cos ωt амплитуда равна F₀/√((k − mω²)² + b²ω²). Здесь b задаёт вязкое сопротивление Fсопр = −bv, а безразмерное затухание ζ = b/(2√(mk)).
При конечном сопротивлении максимум не бесконечен. Для заметного затухания частота максимума смещения может отличаться от √(k/m); при сильном затухании выраженного пика может не быть. Поэтому формулировка «резонанс всегда точно на собственной частоте» требует уточнения.
Собственная частота без потерь
ω₀ = √(k/m)
Отношение частот
r = ω/ω₀
Нормированная амплитуда
A/(F₀/k) = 1/√((1 − r²)² + (2ζr)²)
Потери ограничивают высоту резонансного пика и влияют на его положение.
Что произойдёт с пиком при увеличении сопротивления?
Обычно он станет ниже и шире; при достаточно сильном затухании максимум смещения исчезнет.
Модель и применение: раскачивание и защита
В модели меняй отношение частот и коэффициент затухания ζ. Кривая показывает установившуюся амплитуду при одинаковой амплитуде внешней силы. Она не изображает разгон системы во времени и не предсказывает разрушение конструкции.
Резонанс используют для выделения частоты, например в колебательных системах радиоприёмника. В механизмах нежелательные вибрации уменьшают демпфированием и изменением собственных частот. Для реальной конструкции требуются её параметры и расчёт прочности.
Найти возбуждение
Частота и величина силы
Сравнить с собственными частотами
Возможен близкий резонанс
Учесть потери
Они определяют установившийся размах
Большая амплитуда требует согласования частот и достаточного подвода энергии.
Можно ли получить бесконечную амплитуду в реальном маятнике?
Нет. Потери, нелинейность и ограничения конструкции прекращают применимость идеализированного расчёта задолго до бесконечности.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 4. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 04. Свободные и вынужденные колебания.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.