Энергия в LC-контуре
Изменяй L, C и фазу. Сравни заряд, ток и энергию двух полей.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Идеальный LC-контур без сопротивления: q = CU₀ cos ωt, i = dq/dt. Знак тока задан этим выбором направления; потери не учитываются.
Начало: заряженный конденсатор и катушка
Идеальный LC-контур состоит из конденсатора ёмкости C и катушки индуктивности L. Если конденсатор зарядили и отключили от источника, поле содержит энергию CU₀²/2. После замыкания через катушку возникает ток.
Самоиндукция препятствует мгновенному изменению тока. Поэтому ток продолжает течь и после того, как заряд конденсатора впервые стал нулевым, перезаряжая его с обратной полярностью. Резистивные потери и излучение в идеальной модели отсутствуют.
Заряд на обкладках
Энергия электрического поля
Рост тока
Энергия передаётся катушке
Продолжение тока
Конденсатор заряжается обратно
Самоиндукция обеспечивает инерционность изменения тока в контуре.
Почему процесс не заканчивается при первом q = 0?
В этот момент ток максимален, а энергия находится в магнитном поле катушки; это поле поддерживает дальнейшее движение зарядов.
Закон: заряд и ток сдвинуты по фазе
При выбранном направлении тока i = dq/dt и старте q(0) = q₀ записывают q = q₀ cos ωt, i = −ωq₀ sin ωt. Знак тока зависит от согласованного выбора направления и обкладки, заряд которой обозначен q.
Угловая частота ω = 1/√(LC), период Томсона T = 2π√(LC). В формулу подставляют генри и фарады. Миллигенри — 10⁻³ Гн, микрофарад — 10⁻⁶ Ф; ошибка в приставке под корнем меняет период в корень из соответствующего множителя.
Период
T = 2π√(LC)
Заряд
q = q₀ cos ωt
Амплитуда тока
I₀ = ωq₀ = U₀√(C/L)
Максимумы заряда и модуля тока наступают в разные моменты.
Чему равен ток при максимальном модуле заряда?
Нулю. Заряд в этот момент достигает крайнего значения и начинает меняться в обратную сторону.
Конденсаторы на электронной плате
Конденсатор запасает энергию электрического поля. В колебательном контуре эта энергия периодически переходит в магнитное поле катушки.
Giovanna 27 · CC BY 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Модель катушки с магнитным сердечником
Катушка связывает ток с магнитным полем. В идеальном контуре её магнитная энергия дополняет электрическую энергию конденсатора.
Svjo · CC BY-SA 3.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Энергия: два поля и постоянная сумма
Электрическая энергия Wэ = q²/(2C), магнитная Wм = Li²/2. В идеальном контуре Wэ + Wм = q₀²/(2C) = const. Через четверть периода от начального максимального заряда вся энергия магнитная, через полпериода вновь электрическая при обратной полярности.
Аналогия с маятником помогает понять обмен: заряд подобен смещению, ток — скорости, индуктивность — массе, а обратная ёмкость — жёсткости. Аналогия относится к уравнениям и не превращает электрическое поле в механическую пружину.
| Маятник | LC-контур |
|---|---|
| Смещение x | Заряд q |
| Скорость v | Ток i |
| Инертность m | Индуктивность L |
| Жёсткость k | Обратная ёмкость 1/C |
Энергия двух полей меняется взаимно, а их сумма в идеальном контуре сохраняется.
Почему смена полярности не делает энергию отрицательной?
В формулах энергий стоят квадраты q и i.
Пример и настройка: менять L и C осмысленно
Для L = 10 мГн и C = 1 мкФ период около 0,628 мс, частота около 1,59 кГц. При U₀ = 10 В энергия равна 50 мкДж, амплитуда тока 0,10 А. Эти значения проверяются и по электрической, и по магнитной формуле энергии.
Модель показывает фазу, заряд, ток и распределение энергии. Увеличь C в четыре раза при том же L: период удвоится. В реальном контуре свободные колебания затухают; чтобы поддерживать их, нужен дополнительный подвод энергии.
Перевести приставки
L в Гн, C в Ф
Найти период
2π√(LC)
Проверить энергию
CU₀²/2 = LI₀²/2
Формула Томсона описывает идеальный контур; сопротивление меняет поведение реальной системы.
Почему нельзя по одной частоте отдельно определить L и C?
Частота задаёт произведение LC; множество разных пар L и C дают одинаковый период.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 7. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 07. Колебательный контур. Свободные.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.