Две точки одного колеса
Меняй радиус и период. Обе точки поворачиваются вместе, но имеют разные линейные скорости.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Внутренняя точка расположена на половине радиуса. Вращение равномерное; красные стрелки — касательные скорости в условном масштабе.
Окружность: дуга и угол
Для точки на окружности радиуса R положение задаётся углом поворота радиуса-вектора. Угол в радианах связан с длиной дуги: Δφ = s/R, поэтому s = RΔφ. Полный оборот соответствует 2π рад, половина — π рад.
Радиан не равен градусу: 180° = π рад. Формулы s = Rφ и v = ωR требуют угол в радианах. Перемещение между двумя точками — хорда, поэтому длину дуги нельзя автоматически считать модулем перемещения.
Дуга
s = RΔφ
Оборот
2π рад = 360°
Половина оборота
π рад = 180°
Радианная мера связывает длину дуги с радиусом.
За полный оборот путь равен 2πR. Чему равно перемещение?
Нулю, поскольку точка вернулась в исходное положение.
Период: время одного оборота
Период T — время одного полного оборота. Частота ν — число оборотов за единицу времени: ν = N/t = 1/T. Единица частоты — герц, то есть с⁻¹. Период измеряют в секундах, а не в герцах.
Если колесо совершило 20 оборотов за 10 с, частота равна 2 Гц, период — 0,5 с. В записи оборотов в минуту сначала переводят минуту в секунды: 120 об/мин соответствует 2 Гц.
| Величина | Формула | Единица |
|---|---|---|
| Период T | t/N | с |
| Частота ν | N/t | Гц |
| Связь | ν = 1/T | Обратные величины |
Частота и период взаимно обратны.
Увеличили период вдвое. Что стало с частотой?
Она уменьшилась вдвое: за то же время совершается вдвое меньше оборотов.
Колесо обозрения
Точки одного жёсткого колеса имеют одинаковый период и угловую скорость, но разные линейные скорости при разных радиусах.
Unknown authorUnknown author · Public domain · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Ветротурбина крупным планом
Кончик лопасти за оборот проходит больший путь, чем точка у оси, при одном и том же времени оборота.
Windkraftfan SH · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Скорости: поворот и путь
При равномерном вращении угловая скорость ω = Δφ/Δt = 2π/T = 2πν. Линейная скорость по модулю v = ωR = 2πR/T. Вектор линейной скорости направлен по касательной к окружности, перпендикулярно радиусу.
У жёсткого колеса все точки совершают один оборот за одинаковое время, поэтому их ω и T одинаковы. Но точка дальше от оси проходит большую окружность за то же время и имеет большую линейную скорость.
| Точка колеса | Угловая скорость | Линейная скорость |
|---|---|---|
| На радиусе R | ω | ωR |
| На радиусе 2R | ω | 2ωR |
| На оси | Колесо вращается с ω | 0 |
У одного вращающегося тела v пропорциональна расстоянию до оси.
Почему точка на оси не движется, хотя колесо вращается?
Её расстояние до оси равно нулю. Формула v = ωR даёт нулевую линейную скорость.
Расчёт: согласовать единицы
Для R = 0,5 м и T = 2 с угловая скорость равна π рад/с, а линейная — π/2 ≈ 1,57 м/с. Проверка: длина окружности π м проходится за 2 с. На радиусе 0,25 м того же колеса скорость будет вдвое меньше.
Интерактив сравнивает две точки при общей угловой скорости. Поворачивается весь радиус, а касательные стрелки показывают мгновенные скорости. Длина стрелок нормирована для читаемости; точные значения приведены в расчёте.
Период в секундах
Или частота в герцах
Радиус в метрах
Не подменять диаметром
Две скорости
Сначала ω, затем v = ωR
Линейная и угловая скорости измеряются в разных единицах.
Можно ли при постоянном модуле v считать вектор скорости постоянным?
Нет. На окружности направление касательной всё время меняется.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 9 класс», § 13. Тема и содержание сверены с файлом «9 класс. Физика — § 13. Линейная и угловая скорости.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.