Выше над планетой — слабее тяготение
Меняй высоту в радиусах планеты. Сравни относительные g, силу тяжести и круговую скорость.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Сферическая Земля: R = 6,37·10⁶ м, g₀ = 9,8 м/с²; GM = g₀R². Атмосферы нет. Орбита при h = 0 — математический предел у поверхности.
Закон: массы и расстояние
Два точечных тела притягиваются с силой F = Gm₁m₂/r². Здесь r — расстояние между точками, G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Формула также применима к неперекрывающимся сферически симметричным телам, если r измерено между центрами.
Для тел сложной формы необходимо учитывать распределение вещества. Силы взаимного притяжения равны по модулю и противоположны по направлению. Большая масса одного тела не означает, что оно действует на другое сильнее, чем другое на него.
Закон
F = Gm₁m₂/r²
Расстояние
Между центрами для сфер
Постоянная
G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг²
Сила тяготения пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Почему тяготение между двумя людьми почти незаметно?
Гравитационная постоянная мала, а массы людей несопоставимы с массами планет. Сила очень мала на фоне других воздействий.
Масштаб: проверяем зависимости
Удвоение одной массы удваивает силу; удвоение обеих — увеличивает её в четыре раза. Удвоение расстояния уменьшает силу в четыре раза. Нельзя заменять зависимость 1/r² зависимостью 1/r.
Для двух тел массами по 1000 кг на расстоянии 1 м сила в точечной модели равна 6,67·10⁻⁵ Н. Геометрия реальных тел должна позволять такое приближение; крупные тела при метровом расстоянии между центрами требуют осторожности.
| Изменение | Как меняется F |
|---|---|
| m₁ → 2m₁ | В 2 раза больше |
| m₁ и m₂ удвоены | В 4 раза больше |
| r → 2r | В 4 раза меньше |
| r → 3r | В 9 раз меньше |
Расстояние в квадрате делает тяготение чувствительным к удалению.
Если расстояние уменьшили вдвое, как изменится сила?
Она увеличится в четыре раза при сохранении масс и применимости точечной или сферической модели.
Земля с борта «Аполлона-17»
Внешнее поле сферически симметричной Земли описывают так, будто её масса сосредоточена в центре. Высоту над поверхностью прибавляют к радиусу.
NASA / экипаж «Аполлона-17» · Общественное достояние · Источник фотографии.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Полнолуние крупным планом
Движение Луны связано с гравитационным взаимодействием с Землёй. Силы на Землю и Луну равны по модулю, ускорения различаются.
Luc Viatour · CC BY-SA 3.0 · Источник фотографии.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Планета: поверхность и высота
Сравнивая F = GMm/r² с F = mg, получаем g(r) = GM/r². У поверхности r = R, на высоте h — r = R + h. Поэтому g(h)/g₀ = [R/(R+h)]². Высота над поверхностью и расстояние до центра — разные величины.
На высоте h = R расстояние до центра удвоено, поэтому g и сила тяжести уменьшаются в четыре раза. Масса поднятого тела при этом остаётся прежней. Под землёй простая формула для всей массы планеты уже не применяется в том же виде.
Высота h
Прибавить радиус планеты
Расстояние r = R+h
Возвести в квадрат
Ускорение
g = GM/(R+h)²
В формуле тяготения используют расстояние до центра, а не только высоту.
Почему нельзя подставить h = 0 в знаменатель вместо r?
На поверхности расстояние до центра равно радиусу R, а не нулю. Сила не становится бесконечной.
Орбита: непрерывное падение
Для круговой орбиты тяготение обеспечивает ускорение v²/r. Из GMm/r² = mv²/r получаем v = √(GM/r). Скорость направлена по касательной, ускорение к центру. Спутник непрерывно падает вокруг планеты, не сталкиваясь с поверхностью.
Для орбиты над большей высотой круговая скорость меньше, а период больше. Геостационарный спутник дополнительно должен иметь круговую экваториальную орбиту, направление вращения Земли и соответствующий период. Одной подходящей высоты недостаточно.
Гравитационная сила
GMm/r²
Круговое ускорение
v²/r
Равенство
v = √(GM/r)
Орбитальное движение обусловлено тяготением, а не его отсутствием.
Нужно ли добавлять ещё одну центростремительную силу?
Нет. В данном случае роль результирующей к центру играет уже учтённая сила тяготения.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 9 класс», § 23. Тема и содержание сверены с файлом «9 класс. Физика — § 23. Закон всемирного тяготения.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.