Сумма двух векторов
Поворачивай второй вектор, сохраняя модули. Сравни цепочку стрелок и результирующую.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Условные векторы одного вида. Первый направлен вправо; вычитание показано прибавлением противоположного второго вектора.
Величины: число или направление
Скаляр задаётся численным значением с единицей. Масса, время, путь и энергия — скаляры. Векторная величина дополнительно имеет направление: таковы перемещение, скорость, ускорение и сила. Длина нарисованной стрелки в выбранном масштабе изображает модуль вектора.
Модуль не бывает отрицательным. Вектор может быть направлен влево, но его модуль остаётся положительным; отрицательным может быть значение проекции на выбранную ось. Нельзя складывать величины разных физических видов, даже если они изображены стрелками.
| Скаляр | Вектор | Почему различаем |
|---|---|---|
| Путь s | Перемещение Δr⃗ | Для перемещения нужно направление |
| Масса m | Сила F⃗ | Действие силы зависит от направления |
| Время t | Скорость v⃗ | Движение может идти в разные стороны |
У вектора есть модуль и направление; модуль неотрицателен.
Может ли скаляр быть отрицательным?
Да. Например, температура по Цельсию может быть отрицательной. Скалярность означает отсутствие пространственного направления, а не обязательную положительность.
Сложение: конец к началу
Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, перенеси начало второго в конец первого, сохранив его длину и направление. Сумма направлена от начала первого к концу второго. Для свободных векторов такой параллельный перенос допустим.
В правиле параллелограмма векторы откладывают из одного начала, достраивают параллелограмм и проводят диагональ из общего начала. Оба способа дают один результат. При сложении нескольких перемещений получаем стрелку между начальным и конечным положениями.
Первый вектор
Отложить из выбранной точки
Второй вектор
Начало совместить с концом первого
Сумма
Соединить начало цепочки с её концом
Сумма векторов определяется геометрическим правилом, а не всегда суммой модулей.
Что даёт замкнутая цепочка перемещений?
Конец совпадает с началом, поэтому векторная сумма равна нулю, хотя суммарный пройденный путь может быть большим.
Плечи и силы на рычаге
Сила — вектор: для действия на рычаг существенны модуль, направление и точка приложения.
Jimbowley · CC BY-SA 3.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Лодка у берега
Скорость лодки относительно берега складывается векторно из скорости относительно воды и скорости течения.
Dominic Nelson · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Угол: почему результат меняется
Два сонаправленных вектора модулей 3 и 4 дают модуль суммы 7. Если они противоположны, модуль суммы равен 1 и направление совпадает с большим. При прямом угле модуль суммы равен √(3² + 4²) = 5.
Для промежуточных углов модуль лежит между разностью модулей и их суммой. В модели угол меняется непрерывно, а результирующая стрелка строится из координат. Обрати внимание: величины с теми же модулями могут давать разный результат.
| Угол | Модуль суммы 3 и 4 |
|---|---|
| 0° | 7 |
| 90° | 5 |
| 180° | 1 |
При сложении важны направления обоих векторов.
Может ли модуль суммы быть меньше каждого слагаемого?
Да. Например, два почти противоположных вектора одинаковой длины дают малую сумму, а строго противоположные равные векторы — нулевую.
Вычитание: прибавить противоположный
Разность a⃗ − b⃗ вычисляют как a⃗ + (−b⃗). Вектор −b⃗ имеет тот же модуль, но противоположное направление. Умножение вектора на положительное число сохраняет направление, на отрицательное — обращает его.
Умножение на число k изменяет модуль в |k| раз. При k = 0 получается нулевой вектор, у которого нет определённого направления. Изменение скорости Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁ особенно важно: даже при равных модулях скоростей их разность может быть ненулевой.
Разность
a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗)
Модуль произведения
Модуль ka⃗ = |k|a
Изменение скорости
Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁
Вычитание векторов сводится к сложению с противоположным вектором.
Изменится ли скорость при повороте без разгона?
Да, изменится направление вектора. Постоянный модуль скорости не означает постоянства самого вектора скорости.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 9 класс», § 3. Тема и содержание сверены с файлом «9 класс. Физика — § 03. Скалярные и векторные величины.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.