Проекции поворачивающегося вектора
Поворачивай стрелку и следи за знаками проекций на две оси.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Прямоугольные оси, угол против часовой стрелки. aₓ = a cos α, aᵧ = a sin α. Пунктир — геометрическое построение.
Проекция: перпендикуляры к оси
Опусти перпендикуляры из начала и конца вектора на ось Ox. Получится отрезок между двумя проекциями точек. Его длину берут со знаком плюс, если движение от проекции начала к проекции конца совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус в обратном случае.
Проекция aₓ — скалярная величина с единицей исходного вектора. Она может быть положительной, отрицательной или нулевой. Нулевой результат означает отсутствие составляющей вдоль выбранной оси, а не обязательное отсутствие самого вектора.
Начало и конец
Опустить перпендикуляры на ось
Расстояние
Измерить отрезок между основаниями
Знак
Сопоставить направление с осью
Проекция вектора определяется выбранной осью и направлением вектора.
Может ли ненулевой вектор иметь нулевую проекцию?
Да. У вертикального вектора проекция на горизонтальную ось равна нулю.
Косинус: связь с углом
Если α — угол между вектором и положительным направлением Ox, то aₓ = a cos α. При остром угле косинус положителен, при тупом отрицателен, при 90° равен нулю. При 0° проекция равна модулю, при 180° — его противоположному значению.
Пример: модуль силы 10 Н, угол с положительным Ox равен 60°. Тогда Fₓ = 10·0,5 = 5 Н. При 120° получим −5 Н. Оба вектора имеют одинаковый модуль 10 Н, хотя проекции различаются знаком.
| Угол α | cos α | Проекция |
|---|---|---|
| 0° | 1 | a |
| 60° | 0,5 | a/2 |
| 90° | 0 | 0 |
| 120° | −0,5 | −a/2 |
| 180° | −1 | −a |
Проекция aₓ = a cos α; угол отсчитывают от положительного направления оси.
Почему нельзя подставить угол к отрицательной полуоси?
Это другой угол. Для формулы aₓ = a cos α нужна единая договорённость, иначе знак проекции окажется ошибочным.
Силы на наклонной плоскости
Силу тяжести удобно разложить на составляющие вдоль склона и перпендикулярно ему. Выбор осей упрощает уравнения.
Klaus-Dieter Keller · CC0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Схема броска под углом к горизонту
Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости описывают один и тот же вектор, а не два независимых броска.
MikeRun · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Две оси: восстановить вектор
На плоскости при прямоугольных осях достаточно знать aₓ и aᵧ. Если угол отсчитывается против часовой стрелки от Ox, то aᵧ = a sin α. Модуль восстанавливают по теореме Пифагора: a = √(aₓ² + aᵧ²).
Например, aₓ = −3 м, aᵧ = 4 м. Модуль равен 5 м; вектор направлен влево и вверх. Квадраты проекций убирают знаки только при вычислении модуля. Для направления исходные знаки обязательно сохраняют.
Проекции
aₓ = a cos α; aᵧ = a sin α
Модуль
a = √(aₓ² + aᵧ²)
Пример
√(9 + 16) = 5
Две перпендикулярные проекции задают вектор на плоскости.
Может ли модуль проекции превосходить модуль вектора?
Нет. Модуль косинуса не больше единицы, поэтому |aₓ| ≤ a.
Расчёт: векторные операции по осям
Проекция суммы равна сумме проекций: если c⃗ = a⃗ + b⃗, то cₓ = aₓ + bₓ и cᵧ = aᵧ + bᵧ. Для разности вместо плюса ставят минус. Именно поэтому законы движения удобно сначала записать в векторной форме, затем спроецировать.
Выбирай ось так, чтобы уменьшить число ненулевых составляющих. Если развернуть ось, знак любой проекции на неё изменится; физический вектор останется прежним. В модели поворачивай стрелку и сравни её с пунктирными составляющими.
Векторное равенство
Сохранить физический смысл
Оси и знаки
Спроецировать каждое слагаемое
Алгебра
Решить уравнения для проекций
Проекция суммы равна сумме проекций на ту же ось.
Почему нельзя складывать проекции, взятые на разные оси?
Они описывают разные направления. Сначала все слагаемые нужно выразить в одной согласованной системе координат.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 9 класс», § 4. Тема и содержание сверены с файлом «9 класс. Физика — § 04. Проекция вектора на ось.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.